Свойство сходящегося ряда (Всеукр 2008)

[kp9r4d]

Пусть $(a_k)_{k=1}^\infty$ — монотонно возрастающая последовательность положительных чисел, при этом ряд $F(\lambda) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{a_k+\lambda}$ сходится при всех $\lambda \geqslant 0$ и $F(x) = O(x^{-1/2}), x\to +\infty$. Доказать, что тогда $\inf_{k \in \mathbb{N}}(\frac{a_k}{k^2}) > 0$.
Условие $F(x) = O(x^{-1/2}), x\to +\infty$, означает лишь то, что при достаточно больших $x$ должно выполнятся:
$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{a_k+x} \leqslant Cx^{-1/2}$ или $\sum_{k=1}^\infty \frac{\sqrt{x}}{a_k+x} \leqslant C$, то есть то, что ряд $\sum_{k=1}^\infty \frac{\sqrt{x}}{a_k+x}$ сходится. Однако член ряда $\frac{\sqrt{x}}{a_k+x}$ при любом фиксированном $x$ ведёт себя асимптотически точно так же, как и $\frac{1}{a_k}$ и поэтому казалось бы ряд $\frac{\sqrt{x}}{a_k+x}$ вне зависимости от выбранного $x$ будет сходится и расходится точно так же, как и ряд $\frac{1}{a_k}$ в частности, можно выбрать $a_k = k^{1.5}$ и в этом случае $\inf_{k \in \mathbb{N}}(\frac{k^{1.5}}{k^2}) = 0$ что противоречит условию задачи. В чём ошибка?
Численный эксперимент, кстати, подтверждает мою правоту (если ошибка действительно не в том, что я посчитал условие в задачи эквивалентным сходимости ряда $\frac{\sqrt{x}}{a_k+x}$), хотя аргумент такой себе, конечно.

[Xaositect]

kp9r4d в сообщении #839779 писал(а):

Условие $F(x) = O(x^{-1/2}), x\to +\infty$, означает лишь то, что при достаточно больших $x$ должно выполнятся:
$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{a_k+x} \leqslant Cx^{-1/2}$ или $\sum_{k=1}^\infty \frac{\sqrt{x}}{a_k+x} \leqslant C$, то есть то, что ряд $\sum_{k=1}^\infty \frac{\sqrt{x}}{a_k+x}$ сходится.

Не только. $C$ не зависит от $x$, то есть помимо сходимости должна быть ограниченность суммы при $x\to\infty$.

[kp9r4d]

Понятно, спасибо.