Задачка по теорверу

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые участники форума!

Есть такая задачка:

В среднем на $1$ квадратный метр поверхности искусственного спутника попадает за время его работы на орбите $400$ микрометеоритов. Определить вероятность попадания более пяти микрометеоритов на стекло иллюминатора, если его площадь равна $100$ квадратных сантиметров.

У меня тупик в самом начале: удалось выяснить, что эта задача (вроде) на приближенные формулы в схеме Бернулли, но как вычислить вероятность "успеха" одного опыта, или как применить тут какую-либо из приближенных формул в схеме Бернулли (насколько я понимаю - интегральную формулу Муавра-Лапласа)?

Спасибо!

-- 22.03.2014, 21:12 --

Есть такая идея: если на $1$ квадратный метр, то есть на $10000$ квадратных сантиметров в среднем попадает $400$ микрометеоритов, то на $100$ квадратных сантиметров в среднем попадает $\frac{400}{10000} \cdot 100 = 4$ микрометеорита. А вот что делать дальше...

[alisa-lebovski]

Имеется в виду применить теорему Пуассона. В смысле, что метеоритов вообще летает много, а попадают они редко.

[Limit79]

alisa-lebovski, спасибо за ответ!

Формула Пуассона:

$$P_n(m) \approx \frac{(n\cdot p)^m \cdot e^{-n \cdot p}}{m!}$$

И тут сразу вопрос, а как определить $n$ - количество испытаний?

-- 22.03.2014, 22:23 --

Нашел вроде похожий пример:

(Оффтоп)

Есть формула:

$$P_k(t) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{- \lambda t}$$

Мы нашли, что $\lambda = 4$.

Насколько я понимаю, искомая вероятность будет:

$$p = 1 - p_{0}(t) - p_{1}(t) - p_{2}(t) - p_{3}(t) - p_{4}(t) - p_{5}(t)$$

В формуле для $p_{k}(t)$ остается неизвестной $t$, вот как ее найти

[Limit79]

Надумал еще один вариант решения:

Вероятность того, что метеорит попадет на поверхность $1$ квадратный сантиметр равна $p=\frac{400}{10000} = \frac{4}{100} = 0.04$.

По условию $n=100$, тогда $a = np = 4$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров не попадет ни одного метеорита: $P_{100}(0) = \frac{4^0 \cdot e^{-4}}{0!} \approx 0.018$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров попадет $1$ метеорит: $P_{100}(1) = \frac{4^1 \cdot e^{-4}}{1!} \approx 0.073$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров попадет $2$ метеорита: $P_{100}(2) = \frac{4^2 \cdot e^{-4}}{2!} \approx 0.146$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров попадет $3$ метеорита: $P_{100}(3) = \frac{4^3 \cdot e^{-4}}{3!} \approx 0.195$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров попадет $4$ метеорита: $P_{100}(4) = \frac{4^4 \cdot e^{-4}}{4!} \approx 0.195$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров попадет $5$ метеоритов: $P_{100}(5) = \frac{4^5 \cdot e^{-4}}{5!} \approx 0.156$.

Тогда, искомая вероятность равна $p=1-P_{100}(0)-P_{100}(1)-P_{100}(2)-P_{100}(3)-P_{100}(4)-P_{100}(5) \approx 0.215$


Может так?

[Otta]

Limit79 в сообщении #839772 писал(а):

Есть формула:

$$P_k(t) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{- \lambda t}$$

Эта формула, да. Имеется в виду задача "Дана интенсивность пуассоновского потока событий, найти вероятность наступления события в указанном числе случаев."

Limit79 в сообщении #839772 писал(а):

В формуле для $p_{k}(t)$ остается неизвестной $t$, вот как ее найти

Формулировка нечеткая, подразумевается, что за то же время. То есть за все время пребывания на орбите.

Никакое $n$ Вам, естественно, не дано.

Limit79 в сообщении #839808 писал(а):

По условию $n=100$, тогда $a = np = 4$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров не попадет ни одного метеорита: $P_{100}(0) = \frac{4^0 \cdot e^{-4}}{0!} \approx 0.018$.

Это дурная идея - в качестве общего числа испытаний брать кв.см, а в качестве успешных испытаний - метеориты.

[Limit79]

Otta, спасибо за ответ!

Otta в сообщении #839814 писал(а):

Эта формула, да.

То есть задача решается по этой формуле?

Otta в сообщении #839814 писал(а):

Формулировка нечеткая, подразумевается, что за то же время. То есть за все время пребывания на орбите.

Но ведь $t$ нужно подставлять в формулу, то есть у $t$ должно быть какое-то значение, вопрос какое

[Otta]

Какое хотите. Год, миллион лет, два дня, попросту единица. Интенсивность потока рассчитывается в зависимости от времени (неявно). Поэтому неважно.

Кстати, чему она равна, интенсивность? По определению?

[Limit79]

Otta
Интенсивностью $\lambda$ потока событий называется среднее число (математическое ожидание числа) событий, приходящееся на единицу времени.

-- 23.03.2014, 00:00 --

Otta в сообщении #839819 писал(а):

Интенсивность потока рассчитывается в зависимости от времени (неявно). Поэтому неважно.

Не понял

[Otta]

Limit79 в сообщении #839824 писал(а):

Не понял

:

Limit79 в сообщении #839824 писал(а):

приходящееся на единицу времени.

Что возьмете в качестве единицы, то и Ваше. И интенсивность, разумеется.
Одно дело - среднее число метеоритов в час, другое - среднее в год.

[Limit79]

Otta
По условию, есть среднее число метеоритов на некоторую площадь, а вот причем тут время...

[Otta]

А если внимательно прочитать условие?

[Limit79]

Otta
"за время его работы", но конкретного значения же не дано, а оно нужно, чтобы потом подставить его в формулу

[Otta]

Обозначьте буковкой. Возьмите за единицу. Какая разница, если в Вашей воле выбирать единицу времени.
Понимаете, метеориты, когда летят, не знают с какими часами Вы сидите - с делением сто лет или с делением одна минута или с делением один оборот вокруг Земли или еще с каким.

[Limit79]

Otta
А интенсивность - это $\lambda=400$ метеоритов за время работы спутника?

[Otta]

Limit79 в сообщении #839824 писал(а):

Интенсивностью $\lambda$ потока событий называется среднее число (математическое ожидание числа) событий, приходящееся на единицу времени.

Измеряется в событиях/единицу времени.
Единицу времени выбрали?