Оценка одного мат.ожидания по другому

[alisa-lebovski]

Имеется целочисленная случайная величина $\xi$ со значениями от 1 до $N$ и математическим ожиданием $\mu$. Оценить сверху и снизу математическое ожидание величины $e^{-c\xi}$, где $c>0$. Снизу оценивается понятно как: по неравенству Йенсена, больше или равно $e^{-c\mu}$. А как сверху? Если решать точно, сводится к задаче линейного программирования: найти максимум $\sum_{k=1}^Ne^{-ck}p_k$$ при условиях $\sum_{k=1}^Nkp_k=\mu$, $\sum_{k=1}^Np_k=1$, $0\le p_k\le 1$, но это страшно, и по-видимому, решается только численно. Нет ли какой-нибудь более простой аналитической оценки сверху, не обязательно точной? Самая грубая это, конечно, $e^{-c}$, но она не учитывает $\mu$.

[Евгений Машеров]

А тут максимум достигается не в простом случае, когда есть только 1 и N, и пропорция выбирается из $p_1+(1-p_1)N=\mu$?

-- 21 мар 2014, 20:56 --

И минимум тоже вроде просто. Случайная величина, принимающая два соседних значения.

[mihiv]

Пусть $f(c)$ это МО величины $e^{-c\xi }$. По формуле Тэйлора:

$$f(c)=f(0)+f'(0)c+\dfrac {f''(\theta c)c^2}2$$

где $f(0)=1,f'(0)=-\mu ,f''(\theta c)<f''(0)=\sum \limits _1^Nk^2p_k<N\mu $. Отсюда:

$$f(c)<1-\mu c+\dfrac {N\mu c^2}2$$

Правда, нетривиальная верхняя оценка будет получаться не для любых $c$, а, наверное, только для достаточно малых.

[Евгений Машеров]

По-моему, любое $p_i$ при 1<i<N можно "располовинить" по соседним вероятностям, сохраняя матожидание исходной величины и увеличивая матожидание обсуждаемой экспоненты от неё. Так что максимум достигается, если все $p_i$, кроме первого и последнего нулевые. Минимум, соответственно, если ненулевые только два соседних, ближайшие к $\mu$
То есть получаются точные значения максимума и минимума.

[alisa-lebovski]

Цитата:

По-моему, любое $p_i$ при 1<i<N можно "располовинить" по соседним вероятностям, сохраняя матожидание исходной величины и увеличивая матожидание обсуждаемой экспоненты от неё. Так что максимум достигается, если все $p_i$, кроме первого и последнего нулевые. Минимум, соответственно, если ненулевые только два соседних, ближайшие к $\mu$
То есть получаются точные значения максимума и минимума.

Похоже на правду, но как-то очень нестрого.

Цитата:

Правда, нетривиальная верхняя оценка будет получаться не для любых $c$, а, наверное, только для достаточно малых.

Да, мне это не годится. Но сама мысль использовать разложение имеет смысл...

[Евгений Машеров]

Строгости добавить просто. "От противного". Ну и экспоненты расписать аккуратно, после "распиливания"

[Евгений Машеров]

В общем, определяем преобразование "попил", состоящее в обнулении вероятности появления случайной величины, равной i с увеличением двух соседних вероятностей на половину обнулённой. Оно сохраняет матожидание $\mu$ и увеличивает матожидание $e^{-c\xi}$, так что максимум достигается, если распределение сосредоточено в точках 1 и N, иначе можно его увеличить при том же $\mu$. Причём $p_1+(1-p_1)N=\mu$ или $p_1=\frac {N-\mu}{N-1}$
И для минимума очевидно. Если $\mu$ целое, то требуется сосредоточение в точке $i=\mu$, иначе в двух ближайших целых.