Касательные напряжения в полом цилиндре

[Geckelberryfinn]

решаю задачу о напряжениях в круговом полом цилиндре. В полярных координатах она формулируется следующим образом
\nabla\cdot S+e_\rho \chi=0,
ГУ на внутренней поверхности
\left( \begin{matrix} u \\ v \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right)
на внешней
S_\rho=A, S_{\rho\phi}=B,
или, в декартовых координатах
S_x \cos^2 \phi+S_{xy}\sin 2\phi+S_y \sin^2\phi=A,\\ 0.5(S_x-S_y)\sin 2\phi+S_{xy}\cos 2 \phi=B
где тензор S связан со скоростями u и v следующим образом
S= \left( \begin{matrix} (k+1)\frac{\partial u}{\partial x}+(k-1)\frac{\partial v}{\partial y} && \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\\ \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} && (k+1)\frac{\partial v}{\partial y}+(k-1)\frac{\partial u}{\partial x} \end{matrix} \right)
Решаю эту задачу численно МКЭ. Получается поле скоростей в этом цилиндре. Я по этому полю получаю значения компонент тензора S в декартовой системе и в полярной. Сравниваю с эталоном, который был получен по аналитическому решению другим человеком. Так вот, значения для S_\rho, S_\phi у меня практически сходятся, а для S_{\rho\phi} отличаются почти на 2 порядка. При этом считающий аналитически человек, компонент этого тензора считал не как решение краевой задачи, а как решение интгрального уравнения равновесия для моментов относительно оси цилиндра. Он получил следующее значение для S_\rho\phi(\rho)=\frac{b^2 B}{\rho^2}
b - это внешний радиус цилиндра. Так вот значения по этой формуле очень сильно расходятся с моими.

[Андрей123]

Geckelberryfinn писал(а):

на внешней
S_\rho=A, S_{\rho\phi}=B,
где тензор S связан со скоростями u и v следующим образом
S= \left( \begin{matrix} (k+1)\frac{\partial u}{\partial x}+(k-1)\frac{\partial v}{\partial y} && \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\\ \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} && (k+1)\frac{\partial v}{\partial y}+(k-1)\frac{\partial u}{\partial x} \end{matrix} \right)

Что обозначает параметр k и тензор S. Если у Вас тензор S - это тензор скоростей деформаций, то как-то странно, чтобы на границе задавалась скорость деформаций. Если же S-это тензор напряжений, то решение Вашего товарища может не удовлетворять граничным условиям на внутренней поверхности.

[Geckelberryfinn]

S - это тензор скоростей деформации... Эта вроде бы задача намотки.
k=(1-2\nu)^{-1}

[Zai]

Вам нужно распечатать матрицу жесткости одного треугольного элемента. Это матрица 6х6. Она симметричная. В качестве примера нужно взять прямоугольный треугольник с еденичными совпадающими с осями системы координат катетами. При первом порядке аппроксимации скоростей, матрицу жеесткости легко проверить вручную.
Нужно также вручную проверить величины сил на внешней границе. Во внутренней области нужно убедиться в том, что вектора поверхностных сил направлены строго по радиусу. Величина силы в узле равна произведению 1/3 площади прилегающих треугольных элементов и распределенной поверхностной силы. Причина больших касательных напряжений может быть в нерадиальности внутренних поверхностных сил.
Попробуйте решить задачу без касательных напряжений на внешней границе. В решении должны отсутствовать касательные напряжения.