2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Школьная алгебра. Проверьте пожалуйста рассуждения.
Сообщение19.03.2014, 09:41 
Дано: алгебраическое выражение $x^2y^2+xy+1$
Вопрос: является ли его значение положительным числом при любых действительных значениях переменных?
При любых действительных значениях переменных выражение $xy$ принимает также любые действительные значения. Оценим зависимость исходного выражения от $xy$.
Очевидно, что при $xy\geq 0$ выражение всегда больше $0$.
Выделим полный квадрат, получим $(xy+1)^2-xy$.
Очевидно, что при $xy<0$ полученное выражение $\geq 0$.
Проверим, может ли оно равняться $0$. Приравняем к $0$ и сделаем замену $xy=a$.
Полученное квадратное уравнение $a^2+a+1$ имеет отрицательный дискриминант, следовательно не имеет действительных корней. Значит нет таких пар $x$ и $y$, которые обращают выражение в $0$.
В итоге получаем, что при всех значениях $x$ и $y$ исходное алгебраическое выражение является положительным числом.

 
 
 
 Re: Школьная алгебра. Проверьте пожалуйста рассуждения.
Сообщение19.03.2014, 11:15 
Аватара пользователя
Правильно, но избыточно. Можно было обойтись только заменой, дискриминантом и коэффициентом при $a^2$.

 
 
 
 Re: Школьная алгебра. Проверьте пожалуйста рассуждения.
Сообщение19.03.2014, 11:59 
Аватара пользователя
Healer в сообщении #838578 писал(а):
Выделим полный квадрат, получим $(xy+1)^2-xy$.
Выделим полный квадрат, получим $(xy+1/2)^2+3/4$.

 
 
 
 Re: Школьная алгебра. Проверьте пожалуйста рассуждения.
Сообщение19.03.2014, 13:05 
TOTAL, gris, спасибо большое!
Что-то я перемудрил... :?

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group