Задача по теории вероятностей

[zigr0lf]

Помогите решить. Пока даже не понимаю, с чего начать.

Для поиска месторождения нефти на заданной территории организовано $n$ геологоразведочных партий, каждая из которых независимо от других обнаруживает залежь с вероятностью $p$. После обработки и анализа сейсмографических записей вся территория была поделена на два района. В первом районе нефть может залегать с вероятностью $p_1$, во втором – с вероятностью $1-p_1$. Как следует распределять $n$ геологоразведочных партий по двум районам, чтобы вероятность обнаружения нефти была максимальной?

[gris]

Главное понять условие и не трактовать его слишком усложнённо.
Нефть может быть только в одном из районов ( или везде, или нигде). Партия может обнаружить нефть вне зависимости от нахождения в данном районе. Достаточно "есть!" в одной партии.
Делаем предположение по разбивке и считаем полную вероятность обнаружения. Потом максимизируем её.

[zigr0lf]

gris
Получаем, что есть две гипотезы:
$H_1$ - нефть в районе 1
$H_2$ - нефть в районе 2
Для тех, кого послали в первый район, вероятность обнаружить равна $P(H_1)P(A|H_1) = p_1\times p^m$, где $m$ - количество тех, кого послали в первый район
Для тех, кого послали во второй район - $P(H_2)P(A|H_2) = (1-p_1)\times p^{n-m}$
так?

[--mS--]

Откуда $p^m$ и $p^{n-m}$? Вы хотите, чтобы все посланные партии нашли нефть? Этого не требуется. Достаточно, если это сделает хоть одна.

[zigr0lf]

хорошо, тогда
$P(H_1)P(A|H_1) = p_1\times p$
$P(H_2)P(A|H_2) = (1-p_1)\times p$
и сложить их, так?

[provincialka]

А схему Бернулли знаете?

[Otta]

zigr0lf
Решите ту же задачу "навыворот". Минимизируйте вероятность, что нефть не будет найдена.

[zigr0lf]

Otta
Тогда так:
вероятность того, что нефть есть в первом районе, но ни одна команда не нашла её равна $p_1(1-p)^m$, где m команд послали в 1 район
а для второго района - $(1-p_1)(1-p)^{n-m}$
и сумму этого вычесть из единицы. Теперь так?

[Otta]

А вычитать зачем? Чтобы найти вероятность, что нашли? Можно, но необязательно. Просто минимизируйте вероятность, что не нашли, это то же. Впрочем, на Ваш выбор.

[zigr0lf]

Otta
а как это сделать?

[Otta]

Выписываете функцию, минимум которой ищете. Определяетесь, по какой переменной Вы его ищете. Потом соображаете, как облегчить себе жизнь - а ее можно облегчить, например, сделав подходящую замену.

Вы же еще ничего не пробовали, только нашли вероятность, зачем спрашивать, не успев подумать?

[zigr0lf]

Не подумал, поспешил.
$m$ принимаю за переменную, назову её $x$. Беру функцию $y=p_1(1-p)^x+(1-p_1)(1-p)^{n-x}$, $1-p$ заменяю на $a$. Тогда $y=p_1a^x+(1-p_1)a^{n-x}$. Раскрываю скобки $y=p_1a^x+a^{n-x}-p_1a^{n-x}$. Группирую: $y=p_1(a^x-a^{n-x})+a^{n-x}$. Что можно дальше сделать?

[Otta]

На экстремум-то как функции исследуют?

И можно сделать более удачную замену, а то больно много $a^x$ торчит, не кацца?

[zigr0lf]

Сделаю замену $a = (1-p)^x$. Тогда $y = p_1a+\frac{(1-p_1)(1-p)^n}{a}$. Нахожу производную $y_a' = p_1-\frac{(1-p_1)(1-p)^n}{a^2}$. Теперь искать экстремум или я снова с заменой напутал?

[Otta]

Не, нормально.