Свертка обобщенных функций

[SDmitry]

Доброго всем времени суток!

Помогите, пожалуйста, разобраться. Необходимо вычислить свертку обобщенных функций в $D'(R)$

Даны такие функции:
$\Theta(x)*\Theta(x)x^2$

Далее, по определению свертки.

$f*g=h(x)=$\int_{R^n}^{} f(x-y)g(y)dy$ = $\int_{R^n}^{} \Theta(x-y)\Theta(y)y^2dy$$

То ли я чего-то не понял, то ли получается довольно длинный ответ из суммы трёх дробей. Так надо что ли?

[Otta]

То, как Вы считаете, имеет право на жизнь, но это обычная их свертка.
Должна получиться хорошая функция, никакой суммы из трех дробей.
Нарисуйте графики обеих функций Хевисайда под интегралом. При разных $x$ они будут по-разному взаимно расположены. В зависимости от этого - разный промежуток интегрирования.

[SDmitry]

Цитата:

Нарисуйте графики обеих функций Хевисайда под интегралом. При разных $x$ они будут по-разному взаимно расположены. В зависимости от этого - разный промежуток интегрирования.

Так, вторая функция - это просто по определению функции Хевисайда. Первая - для $x>y$ - она единичка, для равных - одна вторая и ноль иначе. Пока только не ясно, как это строить. $\Theta(x-y)$ - какие тут оси брать?

При подсчете интеграла в лоб получится вот такая конструкция:
$\frac{1}{3}\Theta(y)((x^3-y^3)\Theta(y-x)+x^3-(-\Theta(-x))+y^3)$ - Вот тот самый тихий ужас, который у меня получился.

В итоге, по идее, должно остаться что-то вида: $\frac{y^3\Theta(y)}{3}$

Где я тут не прав?

[Otta]

1) интеграл зависит от $x$ оунли, откуда получится

SDmitry в сообщении #838614 писал(а):

$\frac{y^3\Theta(y)}{3}$

?
Да, получится, только функция от $x$. ))

SDmitry в сообщении #838614 писал(а):

. $\Theta(x-y)$ - какие тут оси брать?

$x$ это параметр, что значит какие оси?
Ну посчитайте для разгону значение свертки при $x=2$.

[SDmitry]

Так, методом подстановки двойки в интеграл, получится конструкция вида: $\frac{1}{3}(y^3\Theta(y)-(y^3-8)\Theta(y-2))$

[Otta]

Даже проверять не буду. Как у Вас определенный интеграл исхитряется зависеть от переменной интегрирования?

[SDmitry]

Цитата:

$\Theta(x)*\Theta(x)x^2 = $\int_{R^n}^{} \Theta(x-y)\Theta(y)y^2dy$

Тогда вот это правильно?

Как я понял, если то правильно, здесь просто бывает два случая: $x>y$, равенство и $x<y$. В зависимости от этого меняется значение функции Хевисайда. И интеграл будет разный для разных отрезков икса.

[Otta]

Это было бы правильно, если бы не размерность пространства.
Ну, положим, поставите Вы нужную. Подставьте в интеграл $x=2$ (просто чтобы понять, что когда происходит), посмотрите чему и на каких участках равны функции Хевисайда, где ноль, где единица, выпишите Ваш интеграл в окончательном виде и посчитайте.

[SDmitry]

Спасибо за помощь!

Получилось вот что:

Для $x>y$: $\int_{R^2}^{} 1\Theta(y)y^2dy = \frac{y^3\Theta(y)}{3} + C$

Для $x=y$: $\int_{R^2}^{} \frac{1}{2}\Theta(y)y^2dy = \frac{y^3\Theta(y)}{6} + C$

Для $x<y$: $\int_{R^2}^{} 0\Theta(y)y^2dy = C$

Это получается, что ответ?

Кстати, есть источники, которые эту одну вторую пропускают, случай равенства просто к одному из лучей приписывают. Так как правильно?

[Otta]

Нет. Замечания все те же. Причем все до одного.
Сделайте для случая $x=2$, будьте добры.

Контроль. Должно получиться число. Если число упорно не получается, см. все сначала.

[SDmitry]

Чтобы было число, должен быть определенный интеграл. А как мне у вышеозначенного интеграла определять границы интегрирования? Не пойму. Это графически или аналитически можно узнать?

Те функции, какие я написал, только в подстановке от и до чего-то, так?

[SDmitry]

Подумал я и получил вот что:

$\Theta(x)*\Theta(x)x^2 = \int_{R^n}^{} \Theta(x-y)\Theta(y)y^2dy$. При $y<0$ одна из функций Хевисайда обращается в ноль. Тогда получается система. Для $x<0$ это ноль. А для больших или равных нуля имеем:

$\int_{0}^{x} y^2dy = \frac {y^3}{3}$, в подстановке от нуля до икса это будет как раз $\frac{x^3\Theta(x)}{3}$

[Otta]

Как полезно думать, оказывается.
А Вы что, всерьез по $R^n$ интегрировали?

[SDmitry]

Я просто никак не мог сообразить, как мне продвинуться дальше.

Огромное спасибо за помощь!

[Otta]

Не за что. Интеграл-то исправьте, интегрирование по прямой. ))