Векторные пространства.

[main.c]

$L_1\text{ и }L_2$ подпространства конечномерного векторного пространства $V$.
Если $dim(L_1 + L_2) = 1 + dim(L_1 \cap L_2)$, то $L_1 + L_2$ равна одному пространству, а $L_1 \cap L_2$ - другому.
Нужно доказать это утверждение.

Если воспользоваться формулой Грассмана, тогда первая часть приобретает вид:

$dim L_1 + dim L_2 = 2dim(L_1 \cap L_2) + 1$

Предположим обратное, $L_1 \cap L_2$ не равно ни одному из этих пространств, тогда:

$dim(L_1 \cap L_2) \leqslant dimL_1 - 1$
$dim(L_1 \cap L_2) \leqslant dimL_2 - 1$,

следовательно

$2dim(L_1 \cap L_2) + 2 \leqslant dimL_1 + dimL_2 = 2dim(L_1 \cap L_2) + 1$

Пришли к противоречию, значит $L_1 \cap L_2$ равно одному из пространств, а из этого следует, что $L_1 + L_2$ равно другому.
Вроде ничего не напутал. Просьба проверить.

И вопрос, может ли $dim(L_1 + L_2) > dim V$. Я считаю, что нет, но в задачнике просят доказать, что если это верно, то "что-то там следует".
Совокупность порождающих векторов $L_1$ и $L_2$ есть порождающие вектора пространства $L_1 + L_2$, они входят в $V$, а значит $L_1 + L_2 \subseteq V$, а значит $dim(L_1 + L_2) \leqslant dim V$. Или я не прав?

[provincialka]

main.c в сообщении #838243 писал(а):

И вопрос, может ли $dim(L_1 + L_2) > dim V$. Я считаю, что нет, но в задачнике просят доказать, что если это верно, то "что-то там следует".

Конечно, нет. Но, может, там слева сумма размерностей? Тогда из неравенства следует, что подпространства пересекаются не только в 0.

[main.c]

provincialka в сообщении #838252 писал(а):

main.c в сообщении #838243 писал(а):

И вопрос, может ли $dim(L_1 + L_2) > dim V$. Я считаю, что нет, но в задачнике просят доказать, что если это верно, то "что-то там следует".

Конечно, нет. Но, может, там слева сумма размерностей? Тогда из неравенства следует, что подпространства пересекаются не только в 0.

Вторую часть утверждения вы угадали. Видимо там действительно опечатка.

[svv]

Пусть $\subseteq$ означает «is a subspace of». Имеет место такой факт (*):
Если $U\subseteq V$ и $\dim U=\dim V$, то $U=V$.

Для каждого $i=1,2$:
$\begin{matrix}L_1\cap L_2 \subseteq L_i \subseteq L_1+L_2\\\dim(L_1\cap L_2) \leqslant \dim L_i \leqslant \dim(L_1+L_2)\end{matrix}$
Так как разница «крайних» размерностей здесь — единичка, то
либо $\dim L_i=\dim(L_1\cap L_2)$, и тогда в силу (*) $L_i=L_1\cap L_2$,
либо $\dim L_i=\dim(L_1+L_2)$, и тогда в силу (*) $L_i=L_1+L_2$.

Но если $L_1=L_2$, тогда и $L_1\cap L_2=L_1+L_2$, что противоречит $\dim(L_1\cap L_2)<\dim(L_1+L_2)$.
Значит, $L_1\neq L_2$, а тогда одно из подпространств совпадает с $L_1\cap L_2$, а другое с $L_1+L_2$.