Методы решения ДУ в частных производных

[zmb]

Сабж: § 6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Подскажите пожалуйста, как из линейного однородного уравнения (6.1)

$$ A_1(\vec{x}) \frac {\partial u} {\partial x_1} + A_2(\vec{x}) \frac {\partial u} {\partial x_2} + ... + A_n(\vec{x}) \frac {\partial u} {\partial x_n} = 0 $$

получают симметричную форму записи этого уравнения ? Мне неизвестны промежуточные манипуляции которые приводят к такому виду (6.2):

$$ \frac {dx_1} {A_1(\vec{x})} = \frac {dx_2} {A_2(\vec{x})} = ... = \frac {dx_n} {A_n(\vec{x})} $$

[Ms-dos4]

Откройте Смирнов т.4. ч.2 (курс высшей математики), именно с этого там и начинается теория ДУЧП (но векторный анализ придётся немного вспомнить, в частности, как находятся векторные (силовые) линии поля).

[zmb]

Смирнов Т.2. Гл.1 п.20 пример 2:
Систему ДУ движения материальной точки под действием силы (44):

$$ m \frac {d^2 x} {dt^2} = X = \frac {dx'} {dt} $$

$$ m \frac {d^2 y} {dt^2} = Y = \frac {dy'} {dt} $$

$$ m \frac {d^2 z} {dt^2} = Z = \frac {dz'} {dt} $$

где X, Y, Z - проэкции силы на оси координат (зависят от t, x, y, z, x', y', z')

1. Подскажите пожалуйста каким образом из (44) получилась система (46):

$$ m(y \frac {d^2 z} {dt^2} - z \frac {d^2 y} {dt^2}) = yZ - zY $$

$$ m(z \frac {d^2 x} {dt^2} - x \frac {d^2 z} {dt^2}) = zX - xZ $$

$$ m(x \frac {d^2 y} {dt^2} - y \frac {d^2 x} {dt^2}) = xY - yX $$

Пытаясь разобраться смотрю вывод уравнения движения точки несжимаемой жидкости. Компоненты вектора скорости V (ф0):

$$ u = \frac {dx} {dt} = u(t, x, y, z) $$

$$ v = \frac {dy} {dt} = v(t, x, y, z) $$

$$ w = \frac {dz} {dt} = w(t, x, y, z) $$

Компоненты ускорения (ф1):

$$ \frac {du} {dt} = \frac {\partial u} {\partial t} + \frac {\partial u} {\partial x} u + \frac {\partial u} {\partial y} v + \frac {\partial u} {\partial z} w = \frac {\partial u} {\partial t} + \frac {\partial} {\partial x}( \frac {u^2 + v^2 + w^2}{2}) + w(\frac {\partial u} {\partial z} - \frac {\partial w} {\partial x}) - v(\frac {\partial v} {\partial x} - \frac {\partial u} {\partial y}) $$

(для dv/dt и dw/dt выражения аналогичны)
2. Подскажите пожалуйста откуда в последнем выражении (ф1) взялись компоненты

$$ w(\frac {\partial u} {\partial z} - \frac {\partial w} {\partial x}) - v(\frac {\partial v} {\partial x} - \frac {\partial u} {\partial y}) $$

мне кажется я либо чего-то не знаю, либо туплю.

[Oleg Zubelevich]

zmb в сообщении #842291 писал(а):

е пожалуйста каким образом из (44) получилась система (46):

$$ m(y \frac {d^2 z} {dt^2} - z \frac {d^2 y} {dt^2}) = yZ - zY $$

это теорема об изменении кинетического момента материальной точки

-- Сб мар 29, 2014 11:41:16 --

zmb в сообщении #837134 писал(а):

Подскажите пожалуйста, как из линейного однородного уравнения (6.1)

$$ A_1(\vec{x}) \frac {\partial u} {\partial x_1} + A_2(\vec{x}) \frac {\partial u} {\partial x_2} + ... + A_n(\vec{x}) \frac {\partial u} {\partial x_n} = 0 $$

легче понять устройство следующей задачи

$$u_t(t,x)+v^i(x)\frac{\partial u(t,x)}{\partial x^i}=0,\quad u(0,x)=\hat u(x)$$

ее решение имеет вид $u(t,x)=\hat u(g^{-t}(x)),$ где $g^t$ -- фазовый поток системы $\dot x=v(x)$

[zmb]

Ms-dos4

Цитата:

Откройте Смирнов т.4. ч.2 (курс высшей математики), именно с этого там и начинается теория ДУЧП (но векторный анализ придётся немного вспомнить, в частности, как находятся векторные (силовые) линии поля).

Спасибо, учебник тот что нужно, с этим вопросом разобрался.

Oleg Zubelevich

Цитата:

Цитата:

каким образом из (44) получилась система (46):

$$ m(y \frac {d^2 z} {dt^2} - z \frac {d^2 y} {dt^2}) = yZ - zY $$

это теорема об изменении кинетического момента материальной точки

пнял, получается дифференцированием по времени кинетического момента импульса, тоесть результата векторного произведения выраженного через проэкции принимая радиус кривизны константой не зависящей от времени а тангенцальную скорость точки независящей от координат (движение по окружности под действием внешней силы). если не ошибаюсь.
спасибо.