Решить интеграл

[vlad_light]

Подскажите, пожалуйста, как брать следующие интегралы:

$$\int \frac {(x-a)^{\frac 1n - 1}}{(x-b)^{\frac 1n + 1}}dx$$

$$\int \frac {x+1}{(x^2 + x + 1)^\frac 32}dx$$

[Neos]

Попробуйте вначале упростить подинтегральное выражение. Хорошие интегралы

[vlad_light]

Можно подробнее, пожалуйста?

[Ms-dos4]

Начнём со второго. Выделите полный квадрат под корнем, далее интеграл берётся в уме

-- Пт мар 14, 2014 21:28:59 --

Теперь по первому. Представляете его в виде
$\[\int {\frac{{{{(x - a)}^{\frac{1}{n} - 1}}}}{{{{(x - b)}^{\frac{1}{n} + 1}}}}dx} = \int {{{(\frac{{x - a}}{{x - b}})}^{\frac{1}{n}}}\frac{1}{{(x - b)(x - a)}}dx} \]$
Замена $\[\frac{{x - a}}{{x - b}} = \xi \]$ ($\[dx = \frac{{a - b}}{{{{(\xi - 1)}^2}}}\] $ , $\[x - a = \frac{{(b - a)\xi }}{{\xi - 1}}\]$, $\[x - b = \frac{{b - a}}{{\xi - 1}}\]$) приводит к интегралу
$\[\frac{1}{{a - b}}\int {{\xi ^{\frac{1}{n} - 1}}d\xi } \]$, который берётся элементарно.

[Sonic86]

1-й интеграл - биномиальный дифференциал вроде бы

Но самое главное:

ewert писал(а):

Решить интеграл - невозможно!

[vlad_light]

Ms-dos4 в сообщении #836958 писал(а):

Замена $\frac {x-a}{x-b}=\xi$

И как до такого додуматься?

Sonic86 в сообщении #836965 писал(а):

1-й интеграл - биномиальный дифференциал вроде бы

Спасибо!

Ms-dos4 в сообщении #836958 писал(а):

далее интеграл берётся в уме

Что-то я не вижу, как его легко брать

[Ms-dos4]

vlad_light
1)Это же очевидно, сама задача "так и просит". А кто то вот сразу знает что это биномиальный дифференциал (а я не узнал )
2)Вы не можете взять интеграл $\[\int {\frac{{tdt}}{{{{({t^2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}}}} \]$ ? Upd. Неактуально

[SpBTimes]

Во втором еще останется интеграл вида $\int\frac{dt}{(t^2 + a)^{3/2}}$, который удобно брать подстановкой $x = (\sqrt{t^2 + a})'$

[Ms-dos4]

SpBTimes
Да, вы правы, я промахнулся при выделении полного дифференциала (позор )

[vlad_light]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #836965 писал(а):

Но самое главное:

ewert писал(а):

Решить интеграл - невозможно!

Это такой пиар ход: называешь тему с фразой "решить интеграл" и её популярность возрастает в разы, поскольку у каждого возникает соблазн зайти в неё и написать, что решить интеграл невозможно