2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Решить интеграл
Сообщение14.03.2014, 19:47 
Подскажите, пожалуйста, как брать следующие интегралы:
$$\int \frac {(x-a)^{\frac 1n - 1}}{(x-b)^{\frac 1n + 1}}dx$$$$\int \frac {x+1}{(x^2 + x + 1)^\frac 32}dx$$

 
 
 
 Re: Решить интеграл
Сообщение14.03.2014, 19:51 
Аватара пользователя
Попробуйте вначале упростить подинтегральное выражение. Хорошие интегралы

 
 
 
 Re: Решить интеграл
Сообщение14.03.2014, 20:11 
Можно подробнее, пожалуйста?

 
 
 
 Re: Решить интеграл
Сообщение14.03.2014, 20:20 
Начнём со второго. Выделите полный квадрат под корнем, далее интеграл берётся в уме

-- Пт мар 14, 2014 21:28:59 --

Теперь по первому. Представляете его в виде
$\[\int {\frac{{{{(x - a)}^{\frac{1}{n} - 1}}}}{{{{(x - b)}^{\frac{1}{n} + 1}}}}dx}  = \int {{{(\frac{{x - a}}{{x - b}})}^{\frac{1}{n}}}\frac{1}{{(x - b)(x - a)}}dx} \]$
Замена $\[\frac{{x - a}}{{x - b}} = \xi \]$ ($\[dx = \frac{{a - b}}{{{{(\xi  - 1)}^2}}}\]
$ , $\[x - a = \frac{{(b - a)\xi }}{{\xi  - 1}}\]$, $\[x - b = \frac{{b - a}}{{\xi  - 1}}\]$) приводит к интегралу
$\[\frac{1}{{a - b}}\int {{\xi ^{\frac{1}{n} - 1}}d\xi } \]$, который берётся элементарно.

 
 
 
 Re: Решить интеграл
Сообщение14.03.2014, 20:31 
1-й интеграл - биномиальный дифференциал вроде бы

Но самое главное:
ewert писал(а):
Решить интеграл - невозможно!

 
 
 
 Re: Решить интеграл
Сообщение14.03.2014, 20:37 
Ms-dos4 в сообщении #836958 писал(а):
Замена $\frac {x-a}{x-b}=\xi$
И как до такого додуматься? :shock:
Sonic86 в сообщении #836965 писал(а):
1-й интеграл - биномиальный дифференциал вроде бы
Спасибо!
Ms-dos4 в сообщении #836958 писал(а):
далее интеграл берётся в уме
Что-то я не вижу, как его легко брать

 
 
 
 Re: Решить интеграл
Сообщение14.03.2014, 20:41 
vlad_light
1)Это же очевидно, сама задача "так и просит". А кто то вот сразу знает что это биномиальный дифференциал (а я не узнал :-( )
2)Вы не можете взять интеграл $\[\int {\frac{{tdt}}{{{{({t^2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}}}} \]$ ? Upd. Неактуально

 
 
 
 Re: Решить интеграл
Сообщение14.03.2014, 20:46 
Аватара пользователя
Во втором еще останется интеграл вида $\int\frac{dt}{(t^2 + a)^{3/2}}$, который удобно брать подстановкой $x = (\sqrt{t^2 + a})'$

 
 
 
 Re: Решить интеграл
Сообщение14.03.2014, 20:50 
SpBTimes
Да, вы правы, я промахнулся при выделении полного дифференциала (позор :facepalm: )

 
 
 
 Re: Решить интеграл
Сообщение14.03.2014, 21:37 

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #836965 писал(а):
Но самое главное:
ewert писал(а):
Решить интеграл - невозможно!
Это такой пиар ход: называешь тему с фразой "решить интеграл" и её популярность возрастает в разы, поскольку у каждого возникает соблазн зайти в неё и написать, что решить интеграл невозможно :lol:

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group