2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 11:53 


12/03/12
57
Есть ли такая функция из С[0,1], которая имеет хотя-бы два разложения по системе $\{t^n\}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 12:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Если базис, то почему же не единственное? Что такое базис? И, кстати, является ли указанный набор базисом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 12:29 


12/03/12
57
provincialka в сообщении #836789 писал(а):
И, кстати, является ли указанный набор базисом?

Так мой вопрос и был, в том - как проверить, что эта система на является базисом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Допустим, разложений два. Приравняйте их и забудьте про функцию. Перенесите всё в левую часть, получите нетривиальное разложение нуля по системе $\{t^n\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
myjobisgop
А попробуйте разложить $|x - 0.5|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Базис определяется двумя свойствами. Полнота и лин. независимость. Единственность разложения связана с лин. независимостью. Приведенные вами функции являются линейно независимыми. Но вот породить все $C[a; b]$ не могут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
provincialka в сообщении #836919 писал(а):
Базис определяется двумя свойствами. Полнота и лин. независимость.

Ну, это в конечномерном пространстве. А полнота в бесконечномерных пространствах - это другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
А тут ответ на вопрос ТС:

http://mathoverflow.net/questions/44265 ... es-in-c0-1

Очевидно, имелся в виду базис Шаудера, потому что базис Гамеля $C[0,1]$ вообще не может быть счетным (упражнение).

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 23:47 
Заслуженный участник


14/03/10
867
g______d в сообщении #837023 писал(а):
базис Гамеля $C[0,1]$ вообще не может быть счетным (упражнение)
а можно поинтересоваться, есть ли простое доказательство этого факта?

можно, конечно, рассмотреть линейно независимую систему $t^\alpha\in\mathbf{C}[0,1]$ и показать с ее помощью, что все базисы Гамеля $\mathbf{C}[0,1]$ имеют мощность континуума. но это потребует нетривиальных ссылок на теорию множеств...

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
patzer2097 в сообщении #837030 писал(а):
а можно поинтересоваться, есть ли простое доказательство этого факта?
Может, так: функции $|x-a|$, где $0<a<1$, принадлежат $C[0,1]$, их континуум и они линейно независимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение15.03.2014, 00:03 
Заслуженный участник


14/03/10
867
svv в сообщении #837033 писал(а):
их континуум и они линейно независимы
ну да, континуальную линейно независимую систему придумать можно (я выше свою предложил). Но вопроса о существовании счетного базиса это же не снимает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение15.03.2014, 00:03 


10/02/11
6786
базис Гамеля в любом бесконечномерном банахововом пространстве более чем счетен см. теорему Бэра о категориях

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение15.03.2014, 01:01 
Заслуженный участник


14/03/10
867
спасибо!

(Оффтоп)

интересно, а можно ли доказать, что все базисы Гамеля пространства $C[0,1]$ имеют мощность континуума, не ссылаясь на слишком общие аксиомы теории множеств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение15.03.2014, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
http://math.stackexchange.com/questions ... amel-basis

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group