Не единственное разложение функции по базису

[myjobisgop]

Есть ли такая функция из С[0,1], которая имеет хотя-бы два разложения по системе $\{t^n\}$ ?

[provincialka]

Если базис, то почему же не единственное? Что такое базис? И, кстати, является ли указанный набор базисом?

[myjobisgop]

provincialka в сообщении #836789 писал(а):

И, кстати, является ли указанный набор базисом?

Так мой вопрос и был, в том - как проверить, что эта система на является базисом?

[svv]

Допустим, разложений два. Приравняйте их и забудьте про функцию. Перенесите всё в левую часть, получите нетривиальное разложение нуля по системе $\{t^n\}$.

[SpBTimes]

myjobisgop
А попробуйте разложить $|x - 0.5|$.

[provincialka]

Базис определяется двумя свойствами. Полнота и лин. независимость. Единственность разложения связана с лин. независимостью. Приведенные вами функции являются линейно независимыми. Но вот породить все $C[a; b]$ не могут.

[SpBTimes]

provincialka в сообщении #836919 писал(а):

Базис определяется двумя свойствами. Полнота и лин. независимость.

Ну, это в конечномерном пространстве. А полнота в бесконечномерных пространствах - это другое.

[мат-ламер]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0

[g______d]

А тут ответ на вопрос ТС:

http://mathoverflow.net/questions/44265 ... es-in-c0-1

Очевидно, имелся в виду базис Шаудера, потому что базис Гамеля $C[0,1]$ вообще не может быть счетным (упражнение).

[patzer2097]

g______d в сообщении #837023 писал(а):

базис Гамеля $C[0,1]$ вообще не может быть счетным (упражнение)

а можно поинтересоваться, есть ли простое доказательство этого факта?

можно, конечно, рассмотреть линейно независимую систему $t^\alpha\in\mathbf{C}[0,1]$ и показать с ее помощью, что все базисы Гамеля $\mathbf{C}[0,1]$ имеют мощность континуума. но это потребует нетривиальных ссылок на теорию множеств...

[svv]

patzer2097 в сообщении #837030 писал(а):

а можно поинтересоваться, есть ли простое доказательство этого факта?

Может, так: функции $|x-a|$, где $0<a<1$, принадлежат $C[0,1]$, их континуум и они линейно независимы.

[patzer2097]

svv в сообщении #837033 писал(а):

их континуум и они линейно независимы

ну да, континуальную линейно независимую систему придумать можно (я выше свою предложил). Но вопроса о существовании счетного базиса это же не снимает?

[Oleg Zubelevich]

базис Гамеля в любом бесконечномерном банахововом пространстве более чем счетен см. теорему Бэра о категориях

[patzer2097]

спасибо!

(Оффтоп)

интересно, а можно ли доказать, что все базисы Гамеля пространства $C[0,1]$ имеют мощность континуума, не ссылаясь на слишком общие аксиомы теории множеств?

[g______d]

http://math.stackexchange.com/questions ... amel-basis