Термодинамические соотношения

[tech]

Здравствуйте.
Цитата из учебника:
"Запишем дифференциал внутренней энергии: $dU=TdS-PdV$. Отсюда следует, что $(\partial U/\partial V)_T=T(\partial S/\partial V)_T-P\ $"
Помогите, пожалуйста, понять, как это следует.
Зафиксируем температуру $T=\operatorname{const}$.
$U=U(S,V),\ S=S(T,V)=S(V),\ V=V(P,T)=V(P)$
Тогда $U=U(S,P),\ S=S(V),\ V=V(P)$

$(\frac{\partial U}{\partial V})_T=(\frac{\partial U}{\partial S})_T(\frac{\partial S}{\partial V})_T+(\frac{\partial U}{\partial P})_T(\frac{\partial P}{\partial V})_T=(\frac{\partial U}{\partial S})_T(\frac{\partial S}{\partial V})_T+(\frac{\partial U}{\partial V})_T$
И всё бы ничего, но исходя из $dU=TdS-PdV$
$T=(\frac{\partial U}{\partial S})_V$, а $(-P)=(\frac{\partial U}{\partial V})_S$
Но, например, $(\frac{\partial U}{\partial S})_V\ne(\frac{\partial U}{\partial S})_T$, и непонятно, как быть.

[Ms-dos4]

Зачем вы мудрите. Делите на $\[dV\]$ и всё. Если более подробно, то полный дифференциал $\[dU = \frac{{\partial U}}{{\partial S}}dS + \frac{{\partial U}}{{\partial V}}dV\]$. Делим на $\[dV\]$ и фиксируем T, все полные производные станут в частными $\[{(\frac{{dU}}{{dV}})_T} = {(\frac{{\partial U}}{{\partial S}})_T}{(\frac{{\partial S}}{{\partial V}})_T} + {(\frac{{\partial U}}{{\partial V}})_T}\]$.
Но из начального соотношения и вида полного дифференциала видно, что $\[T = {(\frac{{\partial U}}{{\partial S}})_T}\]$ $\[p = - {(\frac{{\partial U}}{{\partial V}})_T}\]$. Отсюда
$\[{(\frac{{\partial U}}{{\partial V}})_T} = T{(\frac{{\partial S}}{{\partial V}})_T} - p\]$

[tech]

Ms-dos4,
я не понимаю, почему именно такие индексы (те, что за скобками). К примеру, если $U$ есть функция от $S$ и $V$, то получается, что $dU=(\frac{\partial U}{\partial S})_VdS+(\frac{\partial U}{\partial V})_SdV$. А если мы ещё потом и $T$ зафиксируем, то и вовсе выйдет $(\frac{\partial U}{\partial S})_{V,T}$, а нам нужна просто $(\frac{\partial U}{\partial S})_T$

[Ms-dos4]

tech
Я даже зря так расписал. Проще напрямую делить $\[dU = TdS - pdV\]$ на $\[dV\]$, и фиксировать T, т.е. $\[\frac{{dU}}{{dV}} = T\frac{{dS}}{{dV}} - p\]$

$\[{(\frac{{\partial U}}{{\partial V}})_T} = T{(\frac{{\partial S}}{{\partial V}})_T} - p\]$

[tech]

Ms-dos4,
вроде бы понятно, но насколько правильно с точки зрения математической строгости делить дифференциалы друг на друга? Я, конечно, понимаю, что производная и есть отношение двух дифференциалов, но, к примеру, в учебнике по мат. анализу я не встречал фразы, подобной "поделим один дифференциал на другой", и соответствующего действия.
И еще вопрос: зачем в физике за скобками пишут то, что остается постоянным? Ведь частная производная и означает по определению, что все переменные, кроме одной, фиксируются. Это связано с тем, что одну и ту же функцию можно рассматривать как функцию разных переменных?

[Ms-dos4]

1)Пока у вас производная первого порядка, обращаться с ней можно как с отношением дифференциалов $\[\frac{{dy}}{{dx}}\] $. Математику "переставили" на пределы, но в физике Лейбницевский подход прижился. (Кстати, в математике, при решении ДУ с разделяющимися переменными, производную ведь тоже представляют как $\[\frac{{dy}}{{dx}}\]$). Поэтому, пока производная полная и первого порядка, проблем нет.
2)Проблема в том, что у вас не просто функция многих переменных, они ещё и зависят друг от друга. Поэтому часто весьма важно указать, что является постоянным.
P.S.Почитайте Сивухина (том 2), там достаточно материала на эту тему, есть много различных фактов, типа приравнивания накрест взятых производных и др. Я сейчас всё и не скажу, термодинамику не открывал достаточно давно.

[tech]

Ms-dos4
Спасибо.

(Оффтоп)

Сивухин имеется в наличии, но используется скорее в качестве справочника-энциклопедии, ибо изучить его за семестр нереально.