Детерминант и максимальный элемент матрицы

[volchenok]

Здравствуйте, уважаемые участники форма. Подскажите, может кто знает, есть ли связь между модулем определителя и модулем наибольшего числа данной матрицы? Может формула какая есть? Буду очень признателен.

[Ms-dos4]

volchenok
Что за связь вы подразумеваете? Напрямую никак не связан.

[svv]

Если интересуют оценки, то какие-то, конечно, есть. Скажем, если в матрице $3\times 3$ ни один элемент не превосходит единицы по модулю, то определитель быть равным $20$ точно не может.

[Ms-dos4]

svv
Для таких матриц детерминант оценивается в зависимости от размера матрицы (кстати, а точные оценки есть для всех n?). По вопросу ТС я не думаю, что он имел это ввиду. Хотя кто знает

[Deggial]

$|\det A| \leq n!\left(\max\limits_{i,j} |a_{i,j}|\right)^n$

upd: iifat, спасибо, исправил.

[volchenok]

Под связью я имел ввиду оценку неравенством или , что желательно, связь приближенным равенством

[iifat]

Там, подозреваю, не модуль максимума, а максимум модуля, не?

volchenok в сообщении #836380 писал(а):

Под связью я имел ввиду оценку неравенством

Ну а вам что написали? Оценка весьма и весьма приблизительная, разумеется. Однако ж, точнее по вашим данным не составить.

[svv]

О приближенном равенстве и не думайте.
$\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=2\quad\quad\begin{vmatrix}1&-1\\1&-1\end{vmatrix}=0\quad\quad\begin{vmatrix}-1&1\\1&1\end{vmatrix}=-2$

[volchenok]

Хорошо, а есть какие-то методы приближенного подсчета определителей (какой-то численный метод)?

[Ms-dos4]

Deggial
Лучше уж Адамара применить, он даёт $\[\left| {\det A} \right| \le {n^{\frac{n}{2}}}{\left| {{a_{\max }}} \right|^n}\]$

volchenok
Их большое количество (основанные на методе Гаусса, LU разложении и пр.) Есть методы для разреженных матриц и т.п. Всё зависит от размера матрицы и её "вида".

[Deggial]

Ms-dos4 в сообщении #836395 писал(а):

Deggial
Лучше уж Адамара применить, он даёт $\[\left| {\det A} \right| \le {n^{\frac{n}{2}}}{\left| {{a_{\max }}} \right|^n}\]$

Я для ТС написал, чтобы он посмотрел и конкретизировал свой вопрос.
Что понимается под Адамаром?

upd: я уже нашёл

[volchenok]

Что Вы имеете ввиду под ТС ?

[Ms-dos4]

volchenok
Вас, т.е. человека который создал тему (topic starter).

[volchenok]

не знал, спасибо

-- Чт мар 13, 2014 17:13:57 --

Эм... ну тогда наверное, пользуясь случаем, я спрошу следующий вопрос. Вообщем при решении задачки матлабом у меня получился определитель, величина которого больше наибольшей величины в матлабе - числа realmax. Естественным выходом я посчитал умножение этого определителя на достаточно маленькое число. Но возникла проблема, что для того чтобы оно было достаточно маленьким - оно должно быть меньшим самого маленького числа в матлабе - realmin. Тогда я решил поделить на достоточно маленькое число не сам определитель, а каждый элемент матрицы. Но возникла трудность выбора этого числа. Если при делении определителя я делил на значение этого опрделителя в какой-то точке, то тут ничего подобного не помагает. Вот связи с этой проблемой и был задан вопрос темы. Подскажите, может кто сталкивался с такой промлемой?

[Ms-dos4]

volchenok
Что вы считаете то?