Вектан ч2 (запутался в формулах)

[Dimqa]

Подскажите пожалуйста почему иногда правило Лейбница работает? ($\operatorname{rot}[\mathbf{\overset{\downarrow}{A}\overset{\downarrow}{B}}]=\operatorname{rot}[\mathbf{\overset{\downarrow}{A}B}]+\operatorname{rot}[\mathbf{A\overset{\downarrow}{B}}].$)
А иногда расписывается по-другому:
$\operatorname{grad}(p\cdot r) = i dp_x x/dx + j dp_y y / dy + k dp_z z / dz = ip_x + jp_y + kp_z = p$
как не запутаться тут, объясните доступным языком.
Прошу прощения за кривое оформление, с frac почему-то не смог верно записать.
Заранее спасибо.

[Dimqa]

Вопрос в том, почему в случае с градиентом, берется только производная одной переменной?

[provincialka]

Видимо, вторая константа. Вы бы все-таки записали попонятней формулы. Что там у вас с дробями? Если числитель/знаменатель более одного символа, заключайте их в фигурные скобки.

[Munin]

Dimqa в сообщении #835494 писал(а):

Подскажите пожалуйста почему иногда правило Лейбница работает? ($\operatorname{rot}[\mathbf{\overset{\downarrow}{A}\overset{\downarrow}{B}}]=\operatorname{rot}[\mathbf{\overset{\downarrow}{A}B}]+\operatorname{rot}[\mathbf{A\overset{\downarrow}{B}}].$)

Правило Лейбница работает всегда: $D(ab)=D(a)b+aD(b),$ где $D$ - любой дифференциальный оператор, а $ab$ - любые две умножаемые сущности. Более того, в обобщённых алгебраических системах правило Лейбница даже берётся за определение операции дифференцирования общего вида.

В формуле, которую вы привели, откуда бы вы её ни процитировали, на самом деле используется частный случай, на который вы не обратили внимания. $\mathbf{p}$ - константа (постоянный вектор), а $\mathbf{r}$ - радиус-вектор. В общем случае, разумеется,
$\operatorname{grad}(\mathbf{fg})=(\mathbf{f}\operatorname{grad})\mathbf{g}+(\mathbf{g}\operatorname{grad})\mathbf{f}+[\mathbf{f}\,\operatorname{rot}\mathbf{g}]+[\mathbf{g}\,\operatorname{rot}\mathbf{f}]$

[exitone]

Munin в сообщении #835559 писал(а):

Правило Лейбница работает всегда: $D(ab)=D(a)b+aD(b),$ где $D$ - любой дифференциальный оператор, а $ab$ - любые две умножаемые сущности.

Munin в сообщении #835559 писал(а):

$\operatorname{grad}(\mathbf{fg})=(\mathbf{f}\operatorname{grad})\mathbf{g}+(\mathbf{g}\operatorname{grad})\mathbf{f}+[\mathbf{f}\,\operatorname{rot}\mathbf{g}]+[\mathbf{g}\,\operatorname{rot}\mathbf{f}]$

что-то не так

[Munin]

Всё так. Просто выражение $\operatorname{grad}(\mathbf{fg})=\nabla(\mathbf{fg})$ имеет вид $\mathbf{a}(\mathbf{bc}),$ которое не так-то просто переписать в таком порядке, чтобы поставить первый множитель в середину. Приходится пользоваться фокусом "бац минус цаб".

-- 11.03.2014 17:53:24 --

В индексной нотации, разумеется, всё элементарно: $\partial_i(f_j g^j)=(\partial_i f_j)g^j+f_j(\partial_i g^j).$

[provincialka]

Формула должна выглядеть примерно так? $\operatorname{grad}(p\cdot r) = \vec{i} \frac{d}{dx}(p_x\cdot x) + \vec{j} \frac{d}{dy}(p_y\cdot y) + \vec{k} \frac{d}{dz}(p_z\cdot z) = \vec{i}p_x + \vec{j}p_y + \vec{k}p_z = p$

[Munin]

Надо ещё заменить все $d$ на $\partial.$

[provincialka]

Это уж пусть ТС старается Формально, в каждом слагаемом осталось по одной переменной, так что и прямое $d$ подойдет.

[Munin]

Думаю, что это не прокатит, когда ТС будет сдавать задание преподавателю :-)

И ещё, это вредно чисто в смысле запоминания и выработки нужной привычки. Заучить надо такой метод работы, который работает всегда в общем случае, а не его упрощение, которое смогло сработать случайно в попавшемся один раз частном случае.

[provincialka]

Munin, вы как всегда совершенно правы. Я поленилась доделывать за ТС. Кстати, его-то реакции в теме и не видно...

[svv]

В индексных обозначениях, действительно, всё просто. Но при этом «составные части» формулы могут оказаться тензорными, например, $\partial_i g^j$. А в чистом векторном анализе такого избегают: никакая часть формулы не должна быть тензором ранга выше 1. К счастью, всё слагаемое $f_j(\partial_i g^j)$ можно, как сказал Munin, с помощью «бац минус цаб» выразить исключительно средствами векторного анализа.

[Oleg Zubelevich]

svv в сообщении #835922 писал(а):

и» формулы могут оказаться тензорными, например, $\partial_i g^j$

я, конечно, дико извиняюсь, но как раз это не является тензором. еще раз пардон за въедливость.

[svv]

Считаете, что в этой теме надо писать ковариантные производные? Или дописывать $\mathbf e^i\otimes\mathbf e_j$?

[Oleg Zubelevich]

я считаю, что с правильнми замечаниями разумнее всего соглашаться и не только в этой теме.