Диэлектрический шар с зарядом внутри

[timahmad]

Металлическая сфера радиуса R заполнена однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$. В центре сферы располагается маленький металлический заряженный шарик с зарядом q. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на поверхности диэлектрика, граничащей с металлическим шаром.

Размышления-
$E+4p\pi=D$, где $p=\sigma$
$D=q/R^2$
$\sigma=(D-D/\varepsilon)/4\pi=(q(1-1/\varepsilon))/4R^2\pi$
Размышления верны? Спасибо.

[DimaM]

Знак другой.

[Munin]

Обратите внимание, что у вас снаружи от диэлектрика, непосредственно после рассматриваемой поверхности, - не вакуум, а металл, металлическая сфера. Так что на поверхности будут заряды не только от диэлектрика, но и от этого металла.

[timahmad]

Надо же найти плотность связанных, то есть поляризованных зарядов. Разве такие есть в металле? Я думал только в диэлектриках.

[DimaM]

Munin в сообщении #835401 писал(а):

Так что на поверхности будут заряды не только от диэлектрика, но и от этого металла.

Мне кажется, что в таких задачах подразумевается [бесконечно тонкий] промежуток между границами металла и диэлектрика. И требуется найти заряд только на границе диэлектрика.

[timahmad]

Цитата:

Знак другой.

Математически из чего это следует?

[DimaM]

timahmad в сообщении #835414 писал(а):

Математически из чего это следует?

Из уравнения Пуассона

$$\operatorname{div}{\bf E}=4\pi\rho.$$

Или, в интегральном виде, из теоремы Гаусса - поток поля через замкнутую поверхность связан с зарядом внутри этой поверхности.

[Munin]

DimaM
Возможно, вы правы, но тогда зачем было внешнюю сферу вообще упоминать? Это вопросы к тому, кто задачу формулировал.

Ещё меня радует использование трёх разных слов ("сфера", "шарик", "шар") для обозначения двух объектов, так чтобы нельзя было без домыслов разобраться, что именно спрашивается.

timahmad в сообщении #835408 писал(а):

Надо же найти плотность связанных, то есть поляризованных зарядов. Разве такие есть в металле? Я думал только в диэлектриках.

Да, наверное, если опираться на слово "связанные", то речь идёт только о диэлектрической части. Но упоминание внешней сферы при этом ставит в тупик. Кроме того, в пространстве (условно) и те и другие заряды будут располагаться на одной и той же поверхности, в одном и том же геометрическом месте, так что их разделение условно.

Насчёт знака: всё зависит от того, какую поверхность диэлектрика, внешнюю (прилегающую к внешней сфере), или внутреннюю (прилегающую к внутреннему шарику), вы рассматриваете. На внешней поверхности заряд будет того же знака, что и $q,$ а на внутренней - противоположного знака. Знак окончательного выражения можно выяснить, если иметь в виду, что $\varepsilon\geqslant 1.$

[timahmad]

Цитата:

Ещё меня радует использование трёх разных слов ("сфера", "шарик", "шар") для обозначения двух объектов, так чтобы нельзя было без домыслов разобраться, что именно спрашивается.

Меня условия задач 4 неделю радуют. Я думал МФТИ строго дает определения.

-- 11.03.2014, 13:03 --

DimaM в сообщении #835415 писал(а):

timahmad в сообщении #835414 писал(а):

Математически из чего это следует?

Из уравнения Пуассона

$$\operatorname{div}{\bf E}=4\pi\rho.$$

Или, в интегральном виде, из теоремы Гаусса - поток поля через замкнутую поверхность связан с зарядом внутри этой поверхности.

А вы какую часть диэлектрика рассматриваете? Ближе к шарику, то есть точечному заряду. Или ближе к сфере?

[DimaM]

timahmad в сообщении #835418 писал(а):

А вы какую часть диэлектрика рассматриваете? Ближе к шарику, то есть точечному заряду. Или ближе к сфере?

Ближе к шарику. Хотя, возможно, правы как раз вы - радиус-то задан у сферы.

[timahmad]

Так, похоже, я ошибся. Я нашел плотность в какой-то точке. А надо по сфере.
$D=4q\pi$
тогда ответ
$q(1-1/\varepsilon)$

[DimaM]

timahmad в сообщении #835425 писал(а):

тогда ответ
$q(1-1/\varepsilon)$

Это не плотность, это полный связанный заряд.
В первом сообщении было верно.

[timahmad]

Идея - зачем использована сфера - на ней индуцируется заряд и поле, данное поле тоже влияет на диэлектрик и индуцирует поляризованные заряды. Как идея?

[Munin]

На ней индуцируется заряд - да. Он влияет на то, что внутри - нет. В силу сферической симметрии задачи.

[timahmad]

$\sigma=(D-D/\varepsilon)/4\pi=(q(1-1/\varepsilon))/4R^2\pi$
Ответ не верный