унитарные операторы, помогите разобраться!

[Наталья Сергеевна]

помогите,пожалуйста, решить задачи:

1)Пусть А — самосопряжённый оператор в комплексном гильбертовом
пространстве. Доказать, унитарность оператора (А + pЕ)(А + pЕ)-1 для любого
невещественного p, при котором оператор А + pЕ имеет ограниченный обратный (p
— число, сопряжённое p).

2)Доказать, что спектр унитарного оператора в гильбертовом пространстве лежит на единичной окружности.

заранее спасибо.

[Brukvalub]

Наталья Сергеевна писал(а):

1)Пусть А — самосопряжённый оператор в комплексном гильбертовом
пространстве. Доказать, унитарность оператора (А + pЕ)(А + pЕ)-1 для любого
невещественного p, при котором оператор А + pЕ имеет ограниченный обратный (p
— число, сопряжённое p).

А почему бы Вам просто не проверить определение унитарного оператора? (или доказать его изометричность и равенство 0 дефектных чисел).

Наталья Сергеевна писал(а):

2)Доказать, что спектр унитарного оператора в гильбертовом пространстве лежит на единичной окружности.

Так это верно и для более широкого класса изометрических операторов.
Пусть

\[\left| z \right| < 1\]

и U - изометрический оператор на Гильбертовом пространстве Н, тогда

\[\left\| {(U - z{\rm I})f} \right\|_H \ge \left\| {Uf} \right\|_H - \left| z \right|\left\| f \right\|_H = (1 - \left| z \right|)\left\| f \right\|_H \]

, поэтому все комплексные числа z,

\[\left| z \right| < 1\]

являютя регулярными точками. Ну, а для

\[\left| z \right| > 1\]

докажите их регулярность самостоятельно

[Наталья Сергеевна]

Brukvalub писал(а):

А почему бы Вам просто не проверить определение унитарного оператора? (или доказать его изометричность и равенство 0 дефектных чисел).

ну...определение?а из него это сразу следует разве?
боюсь показаться глупой,но последнее не очень поняла: доказать его изометричность и равенство 0 дефектных чисел как это?

[Brukvalub]

Brukvalub писал(а):

Так это верно и для более широкого класса изометрических операторов.
Пусть

\[\left| z \right| < 1\]

и U - изометрический оператор на Гильбертовом пространстве Н, тогда

\[\left\| {(U - z{\rm I})f} \right\|_H \ge \left\| {Uf} \right\|_H - \left| z \right|\left\| f \right\|_H = (1 - \left| z \right|)\left\| f \right\|_H \]

, поэтому все комплексные числа z,

\[\left| z \right| < 1\]

являютя регулярными точками. Ну, а для

\[\left| z \right| > 1\]

докажите их регулярность самостоятельно Wink

Прежде всего, здесь я напутал, о чем мне любезно сообщил RIP. На самом деле, для изометрических операторов это неверно, а становится верным только для унитарных операторов, поскольку только в их случае область определения и множество значений оператора совпадает со всем пространством. Но, в остальном, доказательство может оставаться тем же самым. но с последней моей поправкой.

[RIP]

Наталья Сергеевна писал(а):

2)Доказать, что спектр унитарного оператора в гильбертовом пространстве лежит на единичной окружности.

То, что все $z$ с $|z|>1$ являются регулярными точками, легко проверить, если Вы знакомы с понятием спектральный радиус. Случай $|z|<1$ сводится к случаю $|z|>1$, если воспользоваться тем, что оператор, обратный к унитарному, также является унитарным.

[Наталья Сергеевна]

спасибо,за поправку.а то я уже полезла в книжки искать.у меня экзамен в пятницу.
спасибо,учту поправку.
с понятием спектральный радиус знакома,хотя,надо признать,слабо.

[RIP]

Про спектральный радиус достаточно знать всего 2 вещи: определение и оценку сверху через норму оператора.

[Наталья Сергеевна]

во ща пойду узнаю оценку в книжке.спасибо огромное!