сравнение мощностей множеств

[svetka255]

Помогите, пожалуйста! Никак не пойму, где ошибка в рассуждениях:
Доказать:
Пусть $A_2\subset A_1\subset A$. Если $A_2$ эквивалентно $A$, тогда и $A_1$ эквивалентно $A$.
Доказательство:
Обозначим через $m(A)$, $m(A_1)$ и $m(A_2)$ мощности соответствующих множеств.
Из того, что $A_2\subset A_1$ следует, что $m(A_2)\leq m(A_1)$;
Из того, что $A_1\subset A$ следует, что $m(A_1)\leq m(A)$;
$m(A)=m(A_2)$ по условию, но тогда
$m(A)\leq m(A_1)\leq m(A)$, следовательно, $m(A_1)=m(A)$.

[Xaositect]

Если транзитивность неравенства мощностей и вот это утверждение:

svetka255 в сообщении #834945 писал(а):

$m(A)\leq m(A_1)\leq m(A)$, следовательно, $m(A_1)=m(A)$.

раньше были доказаны, то ошибки нет.

[svetka255]

Я пользуюсь следующим (Натансон стр27):
Опред2: Если $A$ и $A_1$ не эквивалентны, но в $A_1$ есть $A_2\subset A_1$ такое, что $A_2\sim A$, то $m(A)<m(A_1)$.

Таким образом, если мы предположим, что $A$ не эквив $A_1$, то получим, что $m(A)<m(A_1)$ (из опред2).

Далее, $A_1\subset A$, следовательно, $m(A_1)$ не может превышать мощность множества $A$, то есть $m(A_1)\leq m(A)$. или нет?

Почему отсюда не следует, что $m(A)=m(A_1)$???

[Xaositect]

Оно следует. Вы сейчас написали доказательсво от противного этого утверждения (надо только немного оформить).

[ewert]

svetka255 в сообщении #835003 писал(а):

Почему отсюда не следует, что $m(A)=m(A_1)$???

Я не очень вникал в логику (почему там первое неравенство используется именно строгое), но, возможно, проблема в том, что это -- теорема Кантора-Бернштейна. И если её к этому моменту её ещё не было (что не исключено), то логика действительно рушится: теорема достаточно нетривиальна и так дёшево не доказывается.

[svetka255]

Да вот в том-то всё и дело. На эту теорему ссылаются при доказательстве теоремы Кантора - Бернштейна. (У Натансона (стр 31) - Шрёдера-Бернштейна). В доказательстве строится непосредственно биекция из $A_1$ в $A$, доказательство понятно. Но возникает вопрос - почему нельзя так - в две строчки? А подозрение , что нельзя возникает как раз из того, что как-то сложновато теорема К-Б. доказывается.


Строгое неравенство, стоит в первом случае потому, что так в опред2 определено.

[ewert]

Ну я внимательнее перечитал стартовый пост. Видите ли, это:

svetka255 в сообщении #834945 писал(а):

$m(A)\leq m(A_1)\leq m(A)$, следовательно, $m(A_1)=m(A)$.

-- в точности утверждение теоремы Кантора-Бернштейна. И, стало быть, низзя; увы.

[svetka255]

так я как раз и не могу понять, почему нельзя и никак не могу((

[ewert]

svetka255 в сообщении #835056 писал(а):

так я как раз и не могу понять, почему нельзя и никак не могу((

Ну а как Вы можете ссылаться на теорему К.-Б. при доказательстве утверждения, предшествующего этой теореме -- и, более того, используемого (по Вашим же словам) в доказательстве этой теоремы?...

[svetka255]

Я на неё не ссылаюсь.

-- 10.03.2014, 16:50 --

Где в третьем сообщении ошибка?

[patzer2097]

svetka255, под эквивалентностью множеств Вы, вероятно, понимаете их равномощность
в этом случае Ваше утверждение, как легко видеть, равносильно теореме Кантора-Бернштейна: "если есть инъективное отображение из множества $A$ в множество $B$ и инъективное отображение из $B$ в $A$, то $A$ и $B$ равномощны". Она доказывается элементарными методами, хотя и довольно непросто

svetka255 в сообщении #835045 писал(а):

В доказательстве строится непосредственно биекция из $A_1$ в $A$, доказательство понятно.

в частности, непосредственно такую биекцию построить не удастся

[ewert]

svetka255 в сообщении #835064 писал(а):

Я на неё не ссылаюсь.

А это что Вы делаете:

svetka255 в сообщении #834945 писал(а):

$m(A)\leq m(A_1)\leq m(A)$, следовательно, $m(A_1)=m(A)$.

?

[Xaositect]

svetka255 в сообщении #835064 писал(а):

Я на неё не ссылаюсь.

Вы используете тот факт, что если $m(A) \leqslant m(B) < m(C)$, то $A$ и $C$ не могут быть равномощными.

[ewert]

svetka255 в сообщении #835064 писал(а):

Где в третьем сообщении ошибка?

а на каком основании Вы решили, что в цепочке $m(A)< m(A_1)\leq m(A)$ содержится противоречие?...

[svetka255]

[/quote]
а на каком основании Вы решили, что в цепочке $m(A)< m(A_1)\leq m(A)$ содержится противоречие?...[/quote]

Что мощность $A$ больше мощности $A$. Это не так?