Распределение Гиббса (каноническое распределение)

[kis]

Есть система (далее подсистема), которая является частью полной системы (далее система). Энергия полной системы $E_0$ остается постоянна. Энергию подсистемы обозначим $E_a$ и энергия оставшейся части системы будет $E_0 - E_a$.
Данное состояние подсистемы с энергией $E_a$ реализуется посредством $N_a$ различных микросостояний системы. Всего же система может принимать $N_0$ микросостояний. Тогда вероятность того, что подсистема находится в состоянии с энергией $E_a$: $P_a = N_a/N_0$

Далее я приведу скриншот из учебника и поясню, что мне не понятно. В учебнике использованы символы, которые неудобно набирать. Большая гамма - это число микросостояний $N$, а эпсилон - это энергия $E$. Индексы имеют тот же смысл (альфу я заменил на $a$).


Почему на следующей картинке в аргументе выражение $E_0 - E_a$, а не $E_a$, как я ожидал?

Или тут подразумевается, что аналитический вид функции $N_a$ может быть преобразован так, что это может быть функция как от $E_a$, так и от $E_0 - E_a$?

Почему важно, чтобы функция, которую раскладываем в ряд (в данном случае логарифм), менялась медленно? Почему производную берут по $E_0$, а не по $E_0 - E_a$? Это связано с тем, что $E_0 >> E_a$? пренебрегли $E_a$?

[Munin]

kis в сообщении #834681 писал(а):

В учебнике использованы символы, которые неудобно набирать.

Терпение и cut-and-paste всё перетрут. \mathcal{P}, \Gamma, \varepsilon, \alpha, \partial.

И очень неудобно, что вы не указываете учебника, по которому читаете, и источника цитирования. Методом телепатии я установил, что это Матвеев, но это просто так повезло. В другой раз не повезёт.

[kis]

Есть система (далее подсистема), которая является частью полной системы (далее система). Энергия полной системы $\varepsilon_0$ остается постоянна. Энергию подсистемы обозначим $\varepsilon_\alpha$ и энергия оставшейся части системы будет $\varepsilon_{0} - \varepsilon_\alpha$.
Данное состояние подсистемы с энергией $\varepsilon_\alpha$ реализуется посредством $\Gamma_\alpha$ различных микросостояний системы. Всего же система может принимать $\Gamma_0$ микросостояний. Тогда вероятность того, что подсистема находится в состоянии с энергией $\varepsilon_\alpha$: $\mathcal{P}_\alpha = \Gamma_\alpha/\Gamma_0$

Далее я приведу скриншот из учебника и поясню, что мне не понятно.


Почему на следующей картинке в аргументе у $\Gamma_\alpha$ выражение $\varepsilon_0 - \varepsilon_\alpha$, а не $\varepsilon_\alpha$, как я ожидал?

Или тут подразумевается, что аналитический вид функции $\Gamma_\alpha$ может быть преобразован так, что это может быть функция как от $\varepsilon_\alpha$, так и от $\varepsilon_0 - \varepsilon_\alpha$?

Почему важно, чтобы функция, которую раскладываем в ряд (в данном случае логарифм), менялась медленно? Почему производную берут по $\varepsilon_0$, а не по $\varepsilon_0 - \varepsilon_\alpha$? Это связано с тем, что $\varepsilon_0 >> \varepsilon_\alpha$? пренебрегли $\varepsilon_\alpha$?

Да, это второй том Матвеева, не очень нравится учебник, но в других учебниках я эту тему не нашел, а гугл только что-то сложное выдает (теорфиз?).

стр. 61 http://uloader.ru/2li2T1/file.png
стр. 62 http://uloader.ru/AqdYW6/file.png
стр. 63 http://uloader.ru/YNyG1T/file.png

[Munin]

И начать придётся с того, что смысл обозначений у Матвеева - не тот, как вы говорите.

kis в сообщении #834681 писал(а):

Почему на следующей картинке в аргументе выражение $E_0 - E_a$, а не $E_a$, как я ожидал?

Вот настоящий смысл обозначения $\Gamma_\alpha(\varepsilon_0-\varepsilon_\alpha).$ Это не то, что вы написали, а число различных микросостояний системы, соответствующих данному микросостоянию подсистемы с энергией $\varepsilon_\alpha.$

Поскольку оно зависит от (системы за вычетом подсистемы), и от её энергии, то логично, что оно пишется как $\Gamma_\alpha(\varepsilon_0-\varepsilon_\alpha).$ И (условно) можно называть $\Gamma_\alpha(\varepsilon_0)$ микросостояниями "при нулевой энергии подсистемы" (требуются оговорки, сколько микросостояний подсистемы соответствуют её нулевой энергии).

kis в сообщении #834681 писал(а):

Почему важно, чтобы функция, которую раскладываем в ряд (в данном случае логарифм), менялась медленно?

Потому что иначе встаёт вопрос, сколько членов разложения Тейлора надо взять. Точнее, надо было сказать несколько более строгую формулировку, чем "медленно меняется", но для физического учебника сойдёт.

kis в сообщении #834681 писал(а):

Почему производную берут по $E_0$, а не по $E_0 - E_a$?

На самом деле, производную берут, конечно же, по $(\varepsilon_0-\varepsilon_\alpha).$ Но поскольку функция $\Gamma_\alpha$ зависит не от этих двух переменных по отдельности, а только от их разности, то всё равно, как эту производную брать, и можно взять частную производную по любому из этих слагаемых, считая другое слагаемое неподвижным.

-- 09.03.2014 22:33:07 --

kis в сообщении #834718 писал(а):

Да, это второй том Матвеева, не очень нравится учебник, но в других учебниках я эту тему не нашел

В Киттеле есть. В Ландау-Лифшице есть. В Квасникове наверняка, хотя я его и не читал. Вообще, в любом учебнике по статфизике должна быть.

Это действительно теорфизика, поскольку статфизика - глава теорфизики.

Если вы начинали с каких-то других учебников (Сивухин, помнится?), то может быть, вам этот раздел и не нужен вообще?

И ещё. Знак "много больше" набирается \gg $\gg$ (а "много меньше" \ll $\ll$).

[kis]

Цитата:

Если вы начинали с каких-то других учебников (Сивухин, помнится?), то может быть, вам этот раздел и не нужен вообще?

Мне приходится разбирать этот раздел, поскольку распределение Максвелла выводится из распределения Гиббса (по крайне мере так у Матвеева). Я читал вывод распределение Максвелла и у Сивухина, но там тоже не все хорошо (тему создавал на днях). На самом деле именно Матвеев наш классический университетский учебник, а все остальные - "дополнительная литература".

Цитата:

Вот настоящий смысл обозначения $\Gamma_\alpha(\varepsilon_0-\varepsilon_\alpha).$ Это не то, что вы написали, а число различных микросостояний системы, соответствующих данному микросостоянию подсистемы с энергией $\varepsilon_\alpha.$

Поскольку оно зависит от (системы за вычетом подсистемы), и от её энергии, то логично, что оно пишется как $\Gamma_\alpha(\varepsilon_0-\varepsilon_\alpha).$ И (условно) можно называть $\Gamma_\alpha(\varepsilon_0)$ микросостояниями "при нулевой энергии подсистемы" (требуются оговорки, сколько микросостояний подсистемы соответствуют её нулевой энергии).

но ведь тогда формула для вероятности ($\mathcal{P}_\alpha = \Gamma_\alpha/\Gamma_0$) имеет другой вид
Пусть $M_1, M_2, ..., M_{k-1}, M_k, ..., M_n$ - различные микросостояния подсистемы, соответствующие энергии $\varepsilon_0$ подсистемы (всего таких состояний $n$). Возьмем из этих микросостояний какое-нибудь микросостояние $M_k$. Этому микросостоянию соответствуют $\Gamma_\alpha (\varepsilon_0 - \varepsilon_\alpha)$ различных микросостояний остальной части системы. Теперь, если для каждого микросостояния подсистемы, соответствующего энергии $\varepsilon_\alpha$ этой подсистемы, ставится в соответствие одно и тоже число микросостояний $\Gamma_\alpha (\varepsilon_0 - \varepsilon_\alpha)$ остальной части системы, то общее число микросостояний полной системы, при которых подсистема находится в состоянии с энергией $\varepsilon_\alpha$, будет $\Gamma_\alpha (\varepsilon_0 - \varepsilon_\alpha) \cdot n$. Значит, если $\Gamma_0$ - число всех возможных микросостояний полной системы, то вероятность того, что подсистема находится в состоянии с энергией $\varepsilon_0$:

$$\mathcal{P}_\alpha = \frac{\Gamma_\alpha (\varepsilon_0 - \varepsilon_\alpha) \cdot n}{\Gamma_0}$$

[Munin]

kis в сообщении #834775 писал(а):

но ведь тогда формула для вероятности ($\mathcal{P}_\alpha = \Gamma_\alpha/\Gamma_0$) имеет другой вид

Смотря опять же, о какой вероятности речь. Надо постоянно аккуратно держать в голове, идёт ли речь о микросостоянии или макросостоянии, или о какой-то комбинации микро- и макросостояний подсистемы и остальной системы (резервуара). Вопрос тонкий, я согласен. Выписывайте всё на бумажку, если просто читать трудно.

Кроме Матвеева, могу порекомендовать Киттеля. Мне он в своё время очень понравился простым изложением.