2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функциональное уравнение
Сообщение07.03.2014, 14:31 
Аватара пользователя
Найти все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, такие, что $\forall x,y \in \mathbb{R} : f(x+y^2) = f(x) + f^2 (y)$
Довольно несложными рассуждениями, можно показать, что для любого $q \in \mathbb{Q}$ существуют лишь две функции:
$f_1(q) = q$
$f_2(q) = 0$

(Оффтоп)

Перепишем условия так $fx+yy = fx + fyfy$, при $x=0$ сделаем следствия:\\
$$f0 = f0 + f^2 0 \to f^2 0 = 0 \to f0 = 0$$
$$fxx =fxfx \to fx+yy = fx + fyy$$
$$f(x+z) = fx + fz, z \geqslant 0$$
$$0=f(-x+x)=f(-x) + f(x) \to -f(-x)=f(x)$$
Из последнего следствия видно, что $f$ однозначно определяется лишь положительной полуосью.
$$f1 = f^2 1 \to f1 = 0 \vee f1 = 1$$
Очевидно также, что $n \in \mathbb{N}, fnx = nfx$ и в силу доказанной нечётности $fnx = nfx$ даже когда $n \in \mathbb{Z}$.\\
Докажем ещё, что $f(\frac{1}{n} x) = \frac{1}{n}f(x)$ когда $n \in \mathbb{Z}$, это следует из равенств
$$f(x) = f(\frac{n}{n}x) = nf(\frac{1}{n}x)$$
$$\frac{1}{n}f(x) = f(\frac{1}{n}x)$$
Из предыдущих двух утверждений, следует что $f(q) = qf(1)$ когда $q \in \mathbb{Q}$.


как обобщить результат на вещественные числа?

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение07.03.2014, 14:42 
Аватара пользователя
По непрерывности. А если её нет, то увы.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение07.03.2014, 14:56 
Аватара пользователя
Понятно, спасибо.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение07.03.2014, 17:59 
Аватара пользователя
kp9r4d, что-то вы совсем замудрили. Тут вообще к целым обращаться не надо. Положите игрек нулю и посмотрите, чему равна функция в нуле. Потом положите икс нулю и найдите саму эту функцию (получатся уже найденные вами решения, только для любых действительных чисел).

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение07.03.2014, 20:23 
Аватара пользователя
kp9r4d ровно, буквально, именно это и делает. Читайте букв.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение13.07.2015, 21:47 
Аватара пользователя
ИСН
Для читателей в будущем - таки не увы. Это отображение сохраняет квадрат и сложение, а значит монотонно, а значит решения-таки только два.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group