Доказать измеримость

[SSSTTT]

$E$ - измеримое за Лебегом подмножество $R^2$.
Пусть
$E_{x,y}=\left\{t\in [-1,1]|(x-t,y-t^2)\in E\right\}$
Нужно доказать что $E_{x,y}$ измеримо почти всюду в $R^2$.

Я подал $E$ как счетное обьединение вертикальных полос $\left\{(x,y)\in E: 2n-1\le x\le 2n+1 \right\}$. Каждая из этих полос измеримая. Каждую из полос можно подать как обьединение парабол $\left\{(2n-t,y-t^2)\in E, t\in [-1,1]\right\}$ по $y$. Из этого нужно как-то получить что почти все параболы должны быть измеримы.
Хотя подход может и неправильный.