2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение06.03.2014, 13:51 


06/03/14
5
Добрый день,
Пожалуйста, помогите разобраться:
1. Чем отличается исправленная статистическая выборочная дисперсия от классической дисперсии (какова ее суть)?
2. Почему она именно \sigma ^{2}\cdot \frac{n}{n-1}, нафига нужен этот коэффициент? - я понимаю, что он для того, чтобы оценка была несмещенной, но не понимаю почему:
2.1 Почему она смещенная без него? Ведь по определению, несмещенность характеризуется M(\alpha )=\alpha _{0}
2.2 Как этот коэффициент решает проблему смещенности?

Заранее спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение06.03.2014, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
1. Ничем. Просто это оценка параметра дисперсии. Выборочная оценка. Одна из многих (и даже многих оптимальных, поскольку много критериев оптимальности) выборочных оценок.
2. Дисперсия есть матожидание квадрата отклонения от матожидания. Матожидание нам неизвестно, мы можем располагать лишь его оценками. Если нам кто-то принесёт истинное значение матожидания (скажем, есть физические основания считать, что оно ноль) - нам поправки не понадобится. То есть возводим отклонения в квадрат, усредняем - вуаля, дисперсия!
Однако это редкое везение, обычно мы используем оценку матожидания, которую и подставляем в формулу для дисперсии. В качестве таковой оценки как традиция, так и множество критериев оптимальности нам предлагают среднее арифметическое. Чем обычно и пользуются.
Однако выборочное среднее отклоняется от истинного матожидания, что приводит к снижению суммы квадратов. Это можно увидеть, просто выписав выражение для суммы квадратов отклонений. Принимая без потери общности, что истинное матожидание равно нулю, и обозначая $\bar x$ выборочное среднее, получим
$\Sigma (x_i-\bar x)^2=\Sigma x^2_i-2\bar x\Sigma x_i+n(\bar x)^2=\Sigma x^2-n(\bar x)^2$
Вот занижение, вызванное последним слагаемым, и компенсирует этот коэффициент.
Численный пример:
Выборка с истинным нулевым матожиданием
(-2; -1; 1; 6), для которой сумма квадратов отклонений от матожидания должна составить 4+1+1+36=42, при вычислении отклонений от среднего по выборке, равного 1, составит 9+4+0+25=38

 Профиль  
                  
 
 Re: Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение06.03.2014, 14:36 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
ivanmixmix в сообщении #833365 писал(а):
2.1 Почему она смещенная без него? Ведь по определению, несмещенность характеризуется M(\alpha )=\alpha _{0}

Выборочная оценка генеральной дисперсии смещена влево из-за того что для её нахождении используется выборочное среднее, а не матожидание. Поэтому M(\alpha )<\alpha _{0}. Поправка Бесселя устраняет это смещение, поэтому матожидание исправленной оценки равняется генеральной дисперсии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение06.03.2014, 15:23 


06/03/14
5
Евгений Машеров, Александрович, большое спасибо за ответы!
Удивительно, почему про поправку Бесселя так мало написано в рунете.
В американской вики все есть: http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel's_correction

 Профиль  
                  
 
 Re: Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение06.03.2014, 15:39 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
Евгений Машеров в сообщении #833379 писал(а):
Численный пример:
Выборка с истинным нулевым матожиданием
(-2; -1; 1; 6), для которой сумма квадратов отклонений от матожидания должна составить 4+1+1+36=42, при вычислении отклонений от среднего по выборке, равного 1, составит 9+4+0+25=38

Стоит отметить что не каждая выборка обязательно даст заниженную дисперсию, встречаются что и завышенную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение06.03.2014, 15:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ivanmixmix в сообщении #833399 писал(а):
Удивительно, почему про поправку Бесселя так мало написано в рунете.

О ней написано везде. Вот первая же ссылка из Яндекса по запросу "выборочная дисперсия":

http://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%FB%E1%EE%F0%EE%F7%ED%E0%FF_%E4%E8%F1%EF%E5%F0%F1%E8%FF

Цитата:
Выборочная дисперсия — это случайная величина

$S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\right)^{2},$

где символ ${\bar {X}}$ обозначает выборочное среднее.

Несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}. $

 Профиль  
                  
 
 Re: Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение06.03.2014, 15:58 


06/03/14
5
ewert, я имел в виду обоснование. Определение, слава Богу, найти можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение06.03.2014, 15:58 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
ivanmixmix в сообщении #833365 писал(а):
Почему она смещенная без него? Ведь по определению, несмещенность характеризуется $M(\alpha )=\alpha _{0}$

Именно по определению она и смещенная.
Матожидание выборочной дисперсии $MS^2_n=\frac{n-1}{n}\sigma^2\ne\sigma^2$.
Понятно, на что нужно домножить смещенную оценку дисперсии, чтобы получилась несмещенная. Отсюда и коэффициент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение06.03.2014, 15:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ivanmixmix в сообщении #833412 писал(а):
ewert, я имел в виду обоснование.

А оно написано в любом учебнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение06.03.2014, 16:06 


06/03/14
5
ewert, значит не в любом, если у меня возник такой вопрос.
При всем уважении, Вы не внесли в тему ничего полезного. К чему Ваши реплики?

Otta, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение06.03.2014, 16:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ivanmixmix в сообщении #833422 писал(а):
Вы не внесли в тему ничего полезного. К чему Ваши реплики?

К тому, чтобы Вы оставили мысль учиться по Викам и вообще по интернету. Не хочется открывать книжку (хотя бы в электронном варианте) -- ищите в интернете какой-нибудь сайт с курсом по ТВ (они есть). Но именно с курсом, а не какие-то обрывочные сведения; просто потому, что и представление о предмете у Вас сложится в лучшем случае обрывочное и бессвязное -- ведь разные авторы используют разную терминологию и разные подходы. Случай с термином "поправка Бесселя" -- прекрасный тому пример: большинство его не употребляют попросту за ненадобностью. И даже в этой ветке: сильно сомневаюсь, что Вы поняли то объяснение, которое пытался донести до Вас Евгений Машеров. Поскольку до конца он сильно не договорил, а намёков Вам (судя по постановке вопросов) явно недостаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение06.03.2014, 16:47 


06/03/14
5
ewert
Передо мной сейчас лежат два учебника, бумажные. Не могу ручаться за их качество - какие есть.
Поверьте, я не ткнул пальцем в тему "Исправленная выборочная дисперсия" и, не поняв вне контекста формулу, вбил сюда вопрос.
То, что говорил Евгений Машеров есть по той ссылке в Вики, которую я написал выше, где все расписано.
Я без сарказма рад, что Вы заботитесь о вопросе образования. Однако предлагаю закрыть этот вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение06.03.2014, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
ivanmixmix в сообщении #833438 писал(а):
ewert
Передо мной сейчас лежат два учебника, бумажные. Не могу ручаться за их качество - какие есть.

И что это за учебники? Объяснение искомого факта есть даже в учебнике Гмурмана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исправленная выборочная дисперсия
Сообщение07.03.2014, 07:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Кстати, да. В каком учебнике этого нет? Единственное, что мне приходит в голову - это не учебник по матстатистике. А какой-нибудь специальный, в котором расчёт дисперсии приводится "рецептурно".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group