Исправленная выборочная дисперсия

[ivanmixmix]

Добрый день,
Пожалуйста, помогите разобраться:
1. Чем отличается исправленная статистическая выборочная дисперсия от классической дисперсии (какова ее суть)?
2. Почему она именно \sigma ^{2}\cdot \frac{n}{n-1}, нафига нужен этот коэффициент? - я понимаю, что он для того, чтобы оценка была несмещенной, но не понимаю почему:
2.1 Почему она смещенная без него? Ведь по определению, несмещенность характеризуется M(\alpha )=\alpha _{0}
2.2 Как этот коэффициент решает проблему смещенности?

Заранее спасибо

[Евгений Машеров]

1. Ничем. Просто это оценка параметра дисперсии. Выборочная оценка. Одна из многих (и даже многих оптимальных, поскольку много критериев оптимальности) выборочных оценок.
2. Дисперсия есть матожидание квадрата отклонения от матожидания. Матожидание нам неизвестно, мы можем располагать лишь его оценками. Если нам кто-то принесёт истинное значение матожидания (скажем, есть физические основания считать, что оно ноль) - нам поправки не понадобится. То есть возводим отклонения в квадрат, усредняем - вуаля, дисперсия!
Однако это редкое везение, обычно мы используем оценку матожидания, которую и подставляем в формулу для дисперсии. В качестве таковой оценки как традиция, так и множество критериев оптимальности нам предлагают среднее арифметическое. Чем обычно и пользуются.
Однако выборочное среднее отклоняется от истинного матожидания, что приводит к снижению суммы квадратов. Это можно увидеть, просто выписав выражение для суммы квадратов отклонений. Принимая без потери общности, что истинное матожидание равно нулю, и обозначая $\bar x$ выборочное среднее, получим
$\Sigma (x_i-\bar x)^2=\Sigma x^2_i-2\bar x\Sigma x_i+n(\bar x)^2=\Sigma x^2-n(\bar x)^2$
Вот занижение, вызванное последним слагаемым, и компенсирует этот коэффициент.
Численный пример:
Выборка с истинным нулевым матожиданием
(-2; -1; 1; 6), для которой сумма квадратов отклонений от матожидания должна составить 4+1+1+36=42, при вычислении отклонений от среднего по выборке, равного 1, составит 9+4+0+25=38

[Александрович]

ivanmixmix в сообщении #833365 писал(а):

2.1 Почему она смещенная без него? Ведь по определению, несмещенность характеризуется M(\alpha )=\alpha _{0}

Выборочная оценка генеральной дисперсии смещена влево из-за того что для её нахождении используется выборочное среднее, а не матожидание. Поэтому M(\alpha )<\alpha _{0}. Поправка Бесселя устраняет это смещение, поэтому матожидание исправленной оценки равняется генеральной дисперсии.

[ivanmixmix]

Евгений Машеров, Александрович, большое спасибо за ответы!
Удивительно, почему про поправку Бесселя так мало написано в рунете.
В американской вики все есть: http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel's_correction

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #833379 писал(а):

Численный пример:
Выборка с истинным нулевым матожиданием
(-2; -1; 1; 6), для которой сумма квадратов отклонений от матожидания должна составить 4+1+1+36=42, при вычислении отклонений от среднего по выборке, равного 1, составит 9+4+0+25=38

Стоит отметить что не каждая выборка обязательно даст заниженную дисперсию, встречаются что и завышенную.

[ewert]

ivanmixmix в сообщении #833399 писал(а):

Удивительно, почему про поправку Бесселя так мало написано в рунете.

О ней написано везде. Вот первая же ссылка из Яндекса по запросу "выборочная дисперсия":

http://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%FB%E1%EE%F0%EE%F7%ED%E0%FF_%E4%E8%F1%EF%E5%F0%F1%E8%FF

Цитата:

Выборочная дисперсия — это случайная величина

$S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\right)^{2},$

где символ ${\bar {X}}$ обозначает выборочное среднее.

Несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}. $

[ivanmixmix]

ewert, я имел в виду обоснование. Определение, слава Богу, найти можно.

[Otta]

ivanmixmix в сообщении #833365 писал(а):

Почему она смещенная без него? Ведь по определению, несмещенность характеризуется $M(\alpha )=\alpha _{0}$

Именно по определению она и смещенная.
Матожидание выборочной дисперсии $MS^2_n=\frac{n-1}{n}\sigma^2\ne\sigma^2$.
Понятно, на что нужно домножить смещенную оценку дисперсии, чтобы получилась несмещенная. Отсюда и коэффициент.

[ewert]

ivanmixmix в сообщении #833412 писал(а):

ewert, я имел в виду обоснование.

А оно написано в любом учебнике.

[ivanmixmix]

ewert, значит не в любом, если у меня возник такой вопрос.
При всем уважении, Вы не внесли в тему ничего полезного. К чему Ваши реплики?

Otta, спасибо!

[ewert]

ivanmixmix в сообщении #833422 писал(а):

Вы не внесли в тему ничего полезного. К чему Ваши реплики?

К тому, чтобы Вы оставили мысль учиться по Викам и вообще по интернету. Не хочется открывать книжку (хотя бы в электронном варианте) -- ищите в интернете какой-нибудь сайт с курсом по ТВ (они есть). Но именно с курсом, а не какие-то обрывочные сведения; просто потому, что и представление о предмете у Вас сложится в лучшем случае обрывочное и бессвязное -- ведь разные авторы используют разную терминологию и разные подходы. Случай с термином "поправка Бесселя" -- прекрасный тому пример: большинство его не употребляют попросту за ненадобностью. И даже в этой ветке: сильно сомневаюсь, что Вы поняли то объяснение, которое пытался донести до Вас Евгений Машеров. Поскольку до конца он сильно не договорил, а намёков Вам (судя по постановке вопросов) явно недостаточно.

[ivanmixmix]

ewert
Передо мной сейчас лежат два учебника, бумажные. Не могу ручаться за их качество - какие есть.
Поверьте, я не ткнул пальцем в тему "Исправленная выборочная дисперсия" и, не поняв вне контекста формулу, вбил сюда вопрос.
То, что говорил Евгений Машеров есть по той ссылке в Вики, которую я написал выше, где все расписано.
Я без сарказма рад, что Вы заботитесь о вопросе образования. Однако предлагаю закрыть этот вопрос.

[--mS--]

ivanmixmix в сообщении #833438 писал(а):

ewert
Передо мной сейчас лежат два учебника, бумажные. Не могу ручаться за их качество - какие есть.

И что это за учебники? Объяснение искомого факта есть даже в учебнике Гмурмана.

[Евгений Машеров]

Кстати, да. В каком учебнике этого нет? Единственное, что мне приходит в голову - это не учебник по матстатистике. А какой-нибудь специальный, в котором расчёт дисперсии приводится "рецептурно".