Вопрос про монету

[igorpl]

Здравствуйте, хотел спросить по какой формуле можно рассчитать.
Если монетку бросить например 60 раз, какова вероятность, что она упадёт на орла из 60 бросков - 2 раза подряд , 3 раза подряд , 4 раза подряд.... и так далее, нужны данные вероятности к 2 орлам, к 3 орлам к 4 орлам. Я так понял, чем больше количество орлов подряд выпадет, тем меньше будет вероятность повторения такой комбинации, например вероятность выпадение 2 орла подряд из 60 бросков, значительно выше, чем несколько раз подряд из серии в 5 орлов.
У меня кроме этого есть ещё вопросы, начал с простого вопроса.

[Shtorm]

igorpl, если речь о классической вероятности, то выпадение орла и решки - равновероятны. И при подбрасывании монеты, например, 10 раз подряд, выпадение орла два раза подряд, будет иметь такую же вероятность, что и выпадение орла в 1-ом и 10-ом броске. Посчитать вероятность выпадения орла 2, 3, 4 раза подряд (или не подряд) при 60 подбрасываниях монеты можно по формуле Бернулли.

[arseniiv]

Shtorm, будьте же благоразумны аккуратнее! Формула Бернулли даёт вероятность выпадения двух орлов любым способом. Подряд они при этом бывают не всегда, если только не всего два броска.

[Shtorm]

arseniiv, я об это и говорю.

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #833170 писал(а):

выпадение орла два раза подряд, будет иметь такую же вероятность, что и выпадение орла в 1-ом и 10-ом броске

Возьмите три броска и сравните вероятности, заменив 10-й бросок на 3-й.

[Shtorm]

arseniiv, по формуле Бернулли будет иметь такую же вероятность.

[arseniiv]

Посчитать не хотите, да?

-- Чт мар 06, 2014 02:47:51 --

arseniiv в сообщении #833210 писал(а):

Возьмите три броска и сравните вероятности, заменив 10-й бросок на 3-й.

Ладно уж, сам.
Первый и третий орёл: $\mathsf P\{\text{ООО},\text{ОРО}\} = \frac28$.
Два орла подряд: $\mathsf P\{\text{ООО},\text{ООР},\text{РОО}\} = \frac38$.

[Shtorm]

arseniiv, мы наверное не поняли друг друга. Я имел ввиду, что если при бросании монеты 10 раз, орёл выпадает три раза, то не важно - последний раз выпадет ли он в третьем броске или в 10-ом.

[arseniiv]

Точно, неправильно. А формула Бернулли тут при чём?

[igorpl]

Спасибо за ответы, да я о классической вероятности 1/2,
Меня всё таки интересует вопрос о серии выпадений орлов или решок, не важно что.
Серия из двух орлов выпадает чаще а серия из 5 орлов из 60 бросках выпадает реже. Можете, всё таки пример один показать, как точно считать. Возьмите серию из 3 или 4 орлов и покажите, как я должен считать.
Я не такой сильный математик :) Хотя про формулу Бернули слышал :)
Конечно, вероятность 1/2 это для орла и решки, но здесь есть ограничение всего 60 бросков и речь идёт о серии одинаковых выпадений или несколько подряд орлов или не сколько подряд решок.

[arseniiv]

(В теме, от которой была отделена эта, был способ, кстати. И ещё есть здесь. Правда, по-английски.)

База такая: можно выразить вероятность (назовём её $p_n$) выпадения фиксированного количества орлов в серии из $n$ киданий с вероятностями $p_m$ для нескольких $m<n$. После этого, зная несколько первых $p_0, p_1, \ldots$, можно получить и значение $p_{60}$.

[igorpl]

то есть, если я хочу знать, сколько раз может выпасть серия допустим из 3 орлов в 60 случаях, значит я сначала вычисляю, какова общая теория вероятности, выпадения 3 орлов подряд по отношению к 1/2 .
P(3n)=1/2*1/2*1/2= 0.125. Это вероятность общая выпадения 3 орлов подряд. А как дальше я не понимаю.

[Deggial]

igorpl, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

[arseniiv]

igorpl в сообщении #833452 писал(а):

Это вероятность общая выпадения 3 орлов подряд.

Лучше сказать, это вероятность выпадения 3 орлов в 3 бросках.

Кидая монетку, будем запоминать, сколько орлов у нас накопилось подряд идущих вместе с последним выкинутым, но как только выкинется решка, обнулим это количество (перед серией киданий оно, очевидно, тоже нулевое). Если же выкинется 3 орла подряд, следующие кидания уже не будут влиять на счётчик — цель достигнута, а что будет дальше, уже не интересует.

Так мы получим четыре состояния (0 орлов, 1 орёл, 2 орла, 3 орла) и вероятности перехода между ними при подкидывании монетки. (Это называется цепью Маркова.) Вероятности перехода $p_{i\to j}$ удобно записывать в виде матрицы:

$$A = \begin{bmatrix} q&q&q&0 \\ p&0&0&0 \\ 0&p&0&0 \\ 0&0&p&1 \end{bmatrix}.$$

По столбцам тут исходные состояния, по строкам — следующие. (Понятно, откуда у её элементов такой вид?)

Если мы знаем текущие вероятности нахождения в каждом из состояний $\mathbf s = \begin{bmatrix} p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{bmatrix}$, можно узнать вероятности после броска монеты простым умножением $A\mathbf s$. Начальные вероятности известны — у нас определённо 0 орлов, так что $\mathbf s_0 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$. Искомая величина будет последней компонентой $A^{60}\mathbf s_0$. (Конечно, чтобы её узнать, не обязательно множить матрицы 60 раз, хватит и шести.) Для бо́льших подряд идущих последовательностей орлов матрица будет больше.

Чтобы можно было сверить реализацию, вероятность получится равной $\dfrac{1\,144\,313\,558\,794\,471\,391}{1\,152\,921\,504\,606\,846\,976}\approx0{,}9925337971597$.

[igorpl]

Deggial в сообщении #833456 писал(а):

igorpl, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

Какие ещё замечания? Я формулы в глаза не видел, а вы хотите, чтобы ещё я что-то оформил. Я же тут в теме написал, я не математик, а просто интересуюсь "теорией вероятностей". Мне в жизни пригодится. Когда начал задумываться в голову вопросы пришли. вот я здесь и задаю их, потому что здесь, математический форум, а куда мне ещё идти? :)