Задача про шарики

[tech]

Здравствуйте.
Из урны, содержащей 3 белых, 5 черных и 2 красных шара два игрока поочередно извлекают по одному шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. При появлении красного шара объявляется ничья. Найти вероятность того, что выиграет игрок, начавший игру.
Пусть $11\ 12\ 13$ - белые шары, $21\ 22\ 23\ 24 \ 25$ - черные шары, $31\ 32$ - красные шары.
Игра выглядит так:
$21\ 22\ 13$ первый игрок
$24\ 23\ \ $ второй игрок
Кол-во вариантов победы первого игрока $3 \times(5 \times4 \times3 \times2+5 \times4+1)$; $3$ способа выбрать белый шар; в скобках кол-ва способов выбрать черные шары
Победа второго игрока $3 \times(5!+5 \times4 \times3+5)$
Ничья $2 \times(5!+5!/1!+5!/2!+5!/3!+5+1)$
Суммирую, делю первое на сумму, получаю неверный результат. Подскажите, в чём я ошибаюсь?

[arseniiv]

Попробуйте решить задачу с одним белым, одним чёрным и одним красным шарами.

Предложенным способом получим, что вероятность первого выиграть равна такой же второго (вынимаем белый vs. вынимаем чёрный и белый, везде по одному способу), а на самом деле…

-- Чт мар 06, 2014 02:27:38 --

Итак, конкретно:

tech в сообщении #833177 писал(а):

Подскажите, в чём я ошибаюсь?

В выборе вероятностного пространства. Если бы всевозможные варианты игры были написаны на бумажках и вынимались из урны вместо шаров, то это решение было бы верным.

[tech]

В упрощенном варианте получается, что вероятность выигрыша первого равна $1/3$.
Если первый достанет черный шар, а второй из двух выберет белый, то он выиграет, то есть вероятность победы второго равна $\frac13*\frac12=\frac16$?
Может быть здесь нужно как-то применять формулу условной вероятности?

[arseniiv]

Так попробуйте!

[tech]

Кажется, решил.
Я рассмотрел всю игру по ходам. Пусть событие $A$ - выигрыш первого игрока, $A_1, A_2, A_3$ - выигрыш на 1 ходе, на 3 ходе, на 5 ходе (нумерация с учетом ходов другого игрока).
1 ход. $P(A_1)=3/10$
3 ход. $P(A_2)=P(A_2|H_2)P(H_2)$
$H_1$ - 1 игрок вытащил черный шар на 1 ходе.
$H_2$ - 2 игрок вытащил черный шар на 2 ходе.
$P(H_2)=P(H_2|H_1)P(H_1)=(5/10)*(4/9)=2/9$
$P(A_2)=(3/8)*(2/9)=1/12$
5 ход. $P(A_3)=P(A_3|H_4)P(H_4)$
$P(H_4)=P(H_4|H_3)P(H_3)=(1/12)*(2/7)=1/42$
$H_3$ - 1 игрок вытащил черный шар на 3 ходе.
$H_4$ - 2 игрок вытащил черный шар на 4 ходе.
$P(A_3)=(1/42)*(3/7)=1/98$
И $P(A)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=1157/2940$

-- 06.03.2014, 17:42 --

Посмотрел в ответ, и это решение опять неверное.

-- 06.03.2014, 17:49 --

Ура, это всего лишь ошибка по невнимательности. $P(A_3)=(1/42)*(3/6)=1/84$. И всё сходится.

[ewert]

Эквивалентная постановка задачи:

По 10 ячейкам случайно раскладываются 3 белых и 2 красных шарика. Шарики пронумерованы (т.е. одноцветные различимы). Какова вероятность, что один из белых шариков окажется на нечётной позиции (т.е. на 1-й, 3-й или 5-й), а все остальные будут правее его?...

Ну $\dfrac{3(A_9^4+A_7^4+A_5^4)}{A_{10}^5}.$

[tech]

ewert
Большое спасибо.
Ваше решение мне больше по душе.