Интеграл от функции, определённой всюду на R

[Le'an]

Добрый день!
Подскажите пожалуйста, верно ли, что если функция $f(x)$ определена для любого $x \in \mathbb{R}$, то и функция

$$g(x) = \int f(x) dx$$

тоже будет определена везде на $x \in \mathbb{R}$? Если это так, то есть у такой теоремы какое-то название, наверняка это известный факт?
Спасибо!

[mihailm]

Прочитайте в начале определения в учебнике и задайте осмысленный вопрос, неопределенный интеграл это не функция!

[Le'an]

mihailm в сообщении #832050 писал(а):

Прочитайте в начале определения в учебнике и задайте осмысленный вопрос, неопределенный интеграл это не функция!

Спасибо за поправку, я имел в виду первообразную.

[arseniiv]

Найдите, чьей производной является функция Дирихле.

[mihailm]

Утверждение такое примерно ищите в учебнике, не у всякой функции есть первообразная

[alcoholist]

Le'an в сообщении #832041 писал(а):

верно ли, что если функция $f(x)$ определена для любого $x \in \mathbb{R}$,

вот функция $f(x)=x^{-1/3}$ определена не всюду, однако ее первообразная -- всюду... парадокс:^)

arseniiv в сообщении #832076 писал(а):

Найдите, чьей производной является функция Дирихле.

гораздо более простой пример $f(x)=\rm{sgn}(x)$ доопределенная в нуле как угодно

[arseniiv]

(2 alcoholist.)

Точно! И любая с разрывом первого рода. Действительно, это попроще, и доказать отсутствие первообразной быстрее.

Увы, \rm меняет шрифт не у аргумента, а у содержащего его окружения: ${\rm abc}def$, и икс тоже стал прямой. Попробуйте \mathrm! Хотя лучше будет \mathop\mathrm (с отступами), а лучше всего будет \operatorname/\operatorname* (почему: http://tex.stackexchange.com/questions/84302/what-is-the-difference-of-mathop-operatorname-and-declaremathoperator).

[_Ivana]

Насколько я помню, на форуме звучало предложение доопределять функции с устранимыми разрывами и считать их непрерывными. Чем модуль не угодил в качестве первообразной сигнума? Разумеется, с соответствующими дополнительными оговорками в нуле, которые не мешают применению этого соглашения в физических приложениях, например.

[kp9r4d]

_Ivana
Предложение далеко не новаторское, Зорич так и делает, например (кстати до этого я думал, что так делают везде, порылся в Кудрявцеве и ничего не нашёл).

(Оффтоп)

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #832193 писал(а):

Хотя лучше будет \mathop\mathrm (с отступами), а лучше всего будет \operatorname/\operatorname* (почему: http://tex.stackexchange.com/questions/84302/what-is-the-difference-of-mathop-operatorname-and-declaremathoperator).

Спасибо за ссылку!

[arseniiv]

(Оффтоп)

Спасибо Google!