При каких p функция является метрикой на плоскости?

[Dima S]

В $\mathbb R^2$ определена функция $\rho (x,y) = (|x_1-y_1|^p+|x_2-y_2|^p)^{{1 \over p}} $ двух переменных $x=(x_1,x_2)$ и $y=(y_1,y_2)$.
При каких $p>0$ она является метрикой, а при каких - нет?
То, что она не является метрикой при $0<p<1$ я доказывал так:
Первые две аксиомы доказаны для всех p. Достаточно указать три точки, такие, что для любых p $0<p<1$ неравенство треугольника не имеет места.
Я взял точки $O=(0,0), A=(1,- \varepsilon)$ и $B=(- \varepsilon,1)$.
Если теперь я докажу, что существует число $C$, такое, что $\rho (A,B)>C>\rho (A,O) + \rho (B,O)$, то я докажу, что при $0<p<1$ представленная функция не является метрикой.
Будем искать такое $C$:
$(2(1+\varepsilon)^p)^{{1 \over p}}>C>2(1+\varepsilon^p)^{{1 \over p}}\Rightarrow$
$2(1+\varepsilon)^p>C^p>2^p(1+\varepsilon^p)\Rightarrow$
$(1+\varepsilon)^p>C^p/2>2^{{p-1}}(1+\varepsilon^p)\Rightarrow$
$(1+\varepsilon)^p>C^p/2>(1+\varepsilon^p)>2^{{p-1}}(1+\varepsilon^p)$,
но имеет место $(1+\varepsilon)^p>\varepsilon^p>(1+\varepsilon^p)$,
тогда можно принять $C^p/2=\varepsilon^p$, а $C=\varepsilon \cdot 2^{{1 \over p}}$.
Верно ли это доказательство?
И как доказать тот факт, что при $p\geqslant 1$ функция - метрика?

[10001]

На последний вопрос: очевидно, что св-ва неотрицательности и симметричности выполняются. Для проверки нер-ва треугольника попробуйте поплясать от нер-ва Минковского.

[Dima S]

По-моему, неравенство Минковского для $\mathbb R^2$ и есть требование третьей аксиомы, тогда вопрос эквивалентен такому: как доказать неравенство Минковского для $\mathbb R^2$?

[mihailm]

Как обычно, через Гельдера

[Dima S]

Какую книгу посоветуете? А то в Колмогорове - Фомине это опущено.

[mihailm]

Dima S в сообщении #831842 писал(а):

Какую книгу посоветуете? А то в Колмогорове - Фомине это опущено.

Удивился и полез в КФ - 2 глава, 1 параграф, ближе к концу.

[Dima S]

Был невнимателен. Спасибо.