рассеяние звуковой волны на анизотропном упругом цилиндре

[sadomovalex]

добрый день
мной рассматривалась 2-мерная (не зависящая от координаты $z$) задача рассеяния стационарной звуковой волны (временной множитель $e^{-i\omega t}$) на бесконечной неоднородной анизотропной упругой цилиндрической оболочке с внешним $r_1$ и внутренним $r_2$ радиусами. В такой общей постановке колебания квазиупругих волн в оболочке представляются системой обыкновенных диф. уравнений второго порядка относительно компонент вектора смещения упругого слоя:
$A(r)U''+B(r)U'+C(r)U=0, U=\left(u_r(r), u_{\varphi}(r)\right)$, $A(r),B(r),C(r)$ - матрицы размера $2\times 2$, зависящие от $r$.
Для однозначного определения решения - функций $u_r(r)$ и $u_{\varphi}(r)$ - необходимо задать 4 граничных условия при $r=r_1$ и $r=r_2$ - по два на каждое уравнение. Они получаются из условия сопряжения оболочки и идеальной жидкости, окружающую оболочку и заполняющую ее полость.
Так вот в случае сплошного цилиндра у нас нет внутренней полости, и мы имеем всего 2 граничных условия для решения указанной системы. Есть идея проводить решение численно, т.е. положить внутренний радиус $r_2=\varepsilon$ и на каждом шаге уменьшать $\varepsilon$ до тех пор, пока влияние этого прокола не будет меньше заданной ошибки. Вопрос в том, как обосновать сходимость этого процесса?

[Nord]

Мне кажется, что выбранный алгоритм неверен. При "исчезновении" прокола физически осмысленное решение должно гладко "сшиваться" при обходе точки прокола на \pi (подходим к воображаемой точке прокола с противоположных сторон)
Проводя аналогию с квантовомеханической задачей "рассеяние частицы на потенциальном барьере" это приводит к обнулению коэффициента при одном из линейно независимых решений.

Updt
Я тут еще подумал: ось цилиндра - особая точка цилиндрической системы координат. Поэтому условия на физически-осмысленное решения должны быть более жестки, чем приведенные выше. А именно, в точке r=0 функция должна быть минимум непрерывна по r и не зависеть в этой точке от \varphi