5^k+43

[Ktina]

Доказать, что

$$5^k+43$$

не может быть степенью (выше первой) никакого натурального числа ни при каком натуральном $k$

[Руст]

Рассмотрев $5^k+43=x^y$ по модулю 5, получаем, что $y$ нечетно, х четно. Рассмотрев по модулю 8, получаем, что $k$ нечетно. При нечетном k
величина слева делится на 3, т.е. х делится и на 3. Чтобы делилось на нечетную степень выше 1, k должен быть равен $k=17\mod 18.$ При этом выражение слева равно 4 по модулю 7, т.е. не является кубом.
Если $k=35\mod 36$, то выражение слева делится на 8 и не делится на 16, откуда следует, что может быть только y=3, что исключили ранее. Поэтому надо искать $k=17\mod 36$, так, чтобы выражение слева делилось как минимум на 32, т.е. $k=53\mod 72$. При этом, нужно, чтобы и степень тройки было как минимум 5. Но пятая степень ($5|y$) возможно только когда $k$ делится на 5 и $x$ делится на 11, т.е. когда $k=125\mod 360$. При этом выражение слева равно 11 по модулю 41, что не является пятой степенью по модулю 41. Таким образом нечетное y не делится на 3 и на 5.
В принципе как в теории Ферма можно рассмотреть только случай простого y.
Подбирая как в случае Софи-Жермен простые q, такие, что $y=p|q-1$, из рассмотрения по модулю q и учитывая, что уже $k=125\mod 360$ исключаем случай $y=7$ и так далее. У меня не получилось единого короткого решения. Из-за отсутствия времени, бросаю на этом.

[Ktina]

Руст
Спасибо!