Вероятность. Сочетание

[Fanday]

Здравствуйте.

Меня ох как сильно волнует вопрос, как найти количество благоприятных исходов в задачах на сочетание.

Я пытался найти логику, но не вышло. Вот два примера:

Цитата:

1) В коробке лежат два белых и один черный шар, из неё случайным образом вынимают два шара. Найдите вероятность случайных событий:
А="оба шара белых"
B="шары разных цветов"

Легко узнать, что всего исходов будет:
$N=C_3^2=3$ (порядок не важен, по формуле сочетаний из 3 по 2)
Но как же найти M?
Я могу перебрать, конечно (что в данном случае просто): ББ, ББ, БЧ.

$P(A)=\frac{1}{3}$ (ББ и ББ)

$P(B)=\frac{2}{3}$ (только БЧ)

Но как это находится математическим путём, ибо в следующем задании перебирать неохота.

Цитата:

2) Из коробки с десятью шарами, среди которых четыре белых и шесть красных, наудачу извлекают три. Найдите вероятности случайных событий:
А="все три шара белых"
B="все три шара красных"
C="шары разных цветов"
D="один шар белый, остальные красные"

Всего исходов: $C_{10}^3=120$
Опять-таки, как найти M?
$M_A=?$
$M_B=?$
$M_C=?$
$M_D=?$

Мне вовсе не нужны ответы, я хочу научиться решать.
Надеюсь на помощь.
Спасибо :)

[Someone]

Fanday в сообщении #829881 писал(а):

Я могу перебрать, конечно (что в данном случае просто): ББ, ББ, БЧ.

$P(A)=\frac{1}{3}$ (ББ и ББ)

$P(B)=\frac{2}{3}$ (только БЧ)

Неправильно.

Fanday в сообщении #829881 писал(а):

Всего исходов: $C_{10}^3=120$
Опять-таки, как найти M?
$M_A=?$
$M_B=?$
$M_C=?$
$M_D=?$

В случаях $A$ и $B$ число благоприятных исходов можно найти таким же способом, как и число всех исходов. Вы знаете, что означает слово "сочетание" в термине "число сочетаний"?
В случае $C$ полезно рассмотреть противоположное событие.
В случае $D$ Вы должны сначала взять определённое количество белых шаров (число способов определяется по известной Вам формуле), а затем — определённое количество красных(опять используется та же формула). Каждый способ выбрать белые шары комбинируется с каждым способом выбрать красные шары. Поэтому общее число способов выбрать один белый и два красных шара равно…

[Fanday]

Цитата:

Неправильно.

Ой, простите, случайно написал. Там наоборот.


Чтобы не запутаться, начну с начала.
Случай А:

Цитата:

В случаях $A$ и $B$ число благоприятных исходов можно найти таким же способом, как и число всех исходов. Вы знаете, что означает слово "сочетание" в термине "число сочетаний"?

Каким это способом? Что взять за $k$ и $n$?
Вынужден был открыть учебник: "сочетанием из $n$ элементов множества $E$ по $k$ называется произвольный набор из $k$ элементов множества $E$".

[Someone]

Fanday в сообщении #829900 писал(а):

Каким это способом? Что взять за k и n?

А что такое $k$ и $n$?

P.S. Нарушаете правила записи формул. Формулы следует окружать знаками доллара. Даже если формула состоит из одного символа.

[Fanday]

Цитата:

А что такое $k$ и $n$?

Я рассуждал так: $k$ - это сколько нам нужно, а $n$ - сколько всего.
Цветочки раскладываем по букетикам, шарики по коробкам. Количество цветов и шариков - $n$, а букетов и коробок - $k$

[Someone]

Fanday в сообщении #829904 писал(а):

Я рассуждал так: $k$ - это сколько нам нужно, а $n$ - сколько всего.

Ну и если нам нужно взять три белых шара, то сколько у нас "всего" и сколько "нужно"?

Fanday в сообщении #829881 писал(а):

2) Из коробки с десятью шарами, среди которых четыре белых и шесть красных, наудачу извлекают три. Найдите вероятности случайных событий:
А="все три шара белых"
B="все три шара красных"
C="шары разных цветов"
D="один шар белый, остальные красные"

Fanday в сообщении #829900 писал(а):

Ой, простите, случайно написал. Там наоборот.

Что значит "наоборот"?
У Вас неудачные обозначения. Вам нужно отличать шары друг от друга, а Вы их одинаково обозначаете. Пусть будут $\text{Б}_1$, $\text{Б}_2$ и $\text{Ч}$.

$\text{Б}_1$, $\text{Б}_2$ и $\text{Ч}$

[Fanday]

Цитата:

Ну и если нам нужно взять три белых шара, то сколько у нас "всего" и сколько "нужно"?

То есть верным будет следующее? ->
$M=C_3^4$ (всего 4 белых а нужно 3)

И таким образом:
$P(A)=\frac{C_4^3}{C_{10}^3}$ ?

[provincialka]

А вам обязательно решать комбинаторно? Можно ведь и через свойства вероятностей.

[Fanday]

Цитата:

Что значит "наоборот"?

Я имел в виду, что
$P(A)=\frac{1}{3}$ ($\text{Б}_1$ $\text{Б}_2$)

$P(B)=\frac{2}{3}$ ($\text{Б}_1$ $\text{Ч}$ и $\text{Б}_2$ $\text{Ч}$)

-- 23.02.2014, 20:14 --

Цитата:

А вам обязательно решать комбинаторно? Можно ведь и через свойства вероятностей.

Простите, а как это?

[Someone]

Fanday в сообщении #829913 писал(а):

То есть верным будет следующее? ->
$M=C_3^4$ (всего 4 белых а нужно 3)

$C_4^3$

Fanday в сообщении #829913 писал(а):

И таким образом:
$P(A)=\frac{C_4^3}{C_{10}^3}$ ?

Да.

(provincialka)

provincialka в сообщении #829914 писал(а):

А вам обязательно решать комбинаторно? Можно ведь и через свойства вероятностей.

Скорее всего, до свойств пока не дошли.

[provincialka]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #829935 писал(а):

Скорее всего, до свойств пока не дошли.

Ну да, не всем же нужно ТВ и МС рассказать за 8 лекций Я уже случайные величины рассказала.

[Fanday]

Тем не менее, мне надо разобраться окончательно.
Если я ищу вероятность появления/выпадения двух одинаковых объектов среди прочих, то число благоприятных исходов найдется с помощью формулы числа сочетаний, где $n$ - сколько всего именно этих объектов, $k$ - два?

Я ужасно путаюсь.

Возвращаясь к первому заданию, я хочу уточнить, как бы это работало там.

Цитата:

1) В коробке лежат два белых и один черный шар, из неё случайным образом вынимают два шара. Найдите вероятность случайных событий:
А="оба шара белых"

$\text{Б}_1$, $\text{Б}_2$, $\text{Ч}$

$N=C_3^2$

Рассуждаю, что белых всего два. И мне нужно, чтобы было два.

Тогда $M=C_2^2=1$

Так?

[Someone]

Fanday в сообщении #829957 писал(а):

Рассуждаю, что белых всего два. И мне нужно, чтобы было два.

Тогда $M=C_2^2=1$

Так?

Так.

[Fanday]

Большое спасибо.
Иду дальше, если можно.

Цитата:

2) Из коробки с десятью шарами, среди которых четыре белых и шесть красных, наудачу извлекают три. Найдите вероятности случайных событий:
C="шары разных цветов"

Цитата:

В случае $C$ полезно рассмотреть противоположное событие.

То есть сосчитать вероятность того, что шары будут одинаковых цветов и потом вычесть эту вероятность из единицы?

[Someone]

Fanday в сообщении #830023 писал(а):

сосчитать вероятность того, что шары будут одинаковых цветов и потом вычесть эту вероятность из единицы?

Естественно.