Снова интеграл.

[main.c]

$\int \frac{\cos^7x}{\sin^3x}dx$, как лучше всего взять этот интеграл?

[B@R5uk]

Один косинус внести под дифференциал.

[main.c]

B@R5uk в сообщении #829863 писал(а):

Один косинус внести под дифференциал.

Ну конечно)......а я вносил $-1/\sin^2x$

[provincialka]

B@R5uk, у вас какой задачник? В Демидовиче (раздел интегрирование тригонометрических функций) основные замены явно перечислены.

[B@R5uk]

provincialka в сообщении #829987 писал(а):

B@R5uk, у вас какой задачник?

Никакой. Именно эту задачу я решал "методом вдумчивого взгляда": внести косинус, основное тригонометрическое, очевидная замена, интеграл суммы степенных функций. Тут даже можно напрячься и выписать ответ без промежуточных выкладок. Чем мне нравятся неопределённые интегралы, так это тем, что их решение за частую процесс творческий, не смотря на вполне конкретный набор универсальных приёмов (которые зачастую оказываются очень громоздкими, если не заметить "изюминку").

[provincialka]

Ой, я не тому вопрос задала. Конечно, вопрос про задачник был для ТС. Ему, видимо, не так хорошо удается "вдумчивый взгляд".

[ewert]

(Оффтоп)

B@R5uk в сообщении #829863 писал(а):

Один косинус внести под дифференциал.

Можно даже и один синус; хотя это и извращение, но к успеху в конце концов приведёт.

[main.c]

$\int \frac{\sin x}{\sin^2 x - 3\sin x + 2}dx$, а здесь как лучше поступить?.....с универсальной наверное получится, но там квадрат - получится очень громоздкое выражение.

[svv]

$\dfrac t {t^2-3t+2}=\dfrac{1}{1-t}-\dfrac{2}{2-t}$

[B@R5uk]

svv, не взлетит.

[svv]

Э... Вы меня правильно поняли? Я не предлагаю подстановку $\sin x=t$.

[B@R5uk]

Переменная меняется не только в подынтегральной функции, но и в дифференциале.

[svv]

Да, при подстановке. А я не предлагаю какой-либо подстановки. Я не предлагаю заменить $\sin x$ на $t$.

[B@R5uk]

Мммм, интересно. А что потом? Просто я не вижу красивого решения дальше.

[svv]

Ну, main.c же пожаловался на квадрат, из-за которого получается громоздкое выражение при универсальной тригонометрической подстановке. Я эту (и только эту) проблему решаю:

$$\int \frac{\sin x}{\sin^2 x - 3\sin x + 2}dx=\int \frac {dx}{1-\sin x} - 2 \int \frac {dx}{2-\sin x}$$

И говорю: вот, квадратов больше нет. Теперь можете?

Действительно, например, в первом интеграле универсальная тригонометрическая подстановка приводит к интегралу

$$\int\frac{du}{(u-1)^2}$$

А это уже совсем не страшно.