2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определители
Сообщение22.02.2014, 17:56 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Никак не могу догадаться, как доказывать тождество
$$\begin{vmatrix}
 y_m & \cdots & y_{m+n-1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
 y_{m+1-n} & \cdots & y_m 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 x_n & \cdots & x_{m+n-1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
 x_{n+1-m} & \cdots & x_n 
\end{vmatrix},$$
где $\sum\limits_{i=1}^n (-1)^i x_i y_{n-i}=0$, $x_0=y_0=1$, $x_k=y_k=0$ при $k<0$.
Что здесь можно использовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители
Сообщение22.02.2014, 18:20 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Плохая формулировка: посылки не содержат $m$:
При $n=1, m=2$ получаем нерешаемую задачу "Доказать, что $y_2=x_2$ при $x_1y_0=0$"

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители
Сообщение22.02.2014, 18:37 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Sonic86 в сообщении #829503 писал(а):
Плохая формулировка: посылки не содержат $m$:
При $n=1, m=2$ получаем нерешаемую задачу "Доказать, что $y_2=x_2$ при $x_1y_0=0$"

:facepalm: Должно быть $\sum\limits_{i=0}^n (-1)^i x_i y_{n-i}=0$.

-- 22.02.2014, 19:52 --

Sonic86 в сообщении #829503 писал(а):
Плохая формулировка: посылки не содержат $m$:

Даже так: $\sum\limits_{i=0}^k (-1)^i x_i y_{k-i}=0$ ($k>0$).

-- 22.02.2014, 20:00 --

Sonic86 в сообщении #829503 писал(а):
$y_2=x_2$

Как вы это получили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители
Сообщение23.02.2014, 00:39 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
ivvan, возьмите небольшие $n$ и $m$ (например, $m=n=2$) и для этого случая напишите в явном виде, что надо доказать. Если увидите, что чепуха, исправьте условие и повторите. И т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители
Сообщение23.02.2014, 17:06 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
$\begin{vmatrix}
y_2 & y_3 \\
y_1 & y_2 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
x_1 y_1-x_2 & x_1 y_2-x_2 y_1+x_3 \\
x_1 & x_1 y_1-x_2
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
x_1 y_1 & x_1 y_2-x_2 y_1+x_3 \\
x_1 & x_1 y_1-x_2
\end{vmatrix}-x_2(x_1 y_1-x_2)=\begin{vmatrix}
x_1 y_1 & x_1 y_2+x_3 \\
x_1 & x_1 y_1
\end{vmatrix}-x_2(x_1^2-x_2)=\begin{vmatrix}
x_1 y_1 & x_1 y_2 \\
x_1 & x_1 y_1
\end{vmatrix}-x_1 x_3-x_1^2 x_2+x_2^2=x_1^2(y_1^2-y_1 x_1+x_2)-x_1 x_3-x_1^2 x_2+x_2^2=-x_1 x_3+x_2^2=\begin{vmatrix}
x_2 & x_3 \\
x_1 & x_2 
\end{vmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители
Сообщение23.02.2014, 19:35 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Наверное, здесь нужна какая-то техника...

При $n=1$ получается соотношение
$$y_m=\begin{vmatrix} x_1 & \cdots & x_{m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{2-m} & \cdots & x_1 \end{vmatrix}.$$
Оно легко доказывается по индукции. Предполагая шаг индукции, надо взять соотношение $\sum\limits_{i=0}^m(-1)^ix_iy_{m-i}$, и подставить в него все выражения для $y_0,...,y_{m-1},y_m$ (формулы для $y_0,...,y_{m-1}$ верны по предположению индукции, формула для $y_m$ будет верна тогда и только тогда, когда получим тождество) - получим сумму определителей убывающего размера. Самый большой определитель раскладываем по 1-й строке.
Тут все.

При $n>1$ уже трудно...

(Оффтоп)

Прикольная задача. При $n=1$ получаются почти коэффициенты обратной производящей функции к $\sum\limits_{j=0}^{+\infty}x_jt^j$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители
Сообщение24.02.2014, 11:11 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Докажем, что
$$X_{i_1\dots i_k}=Y_{j_1\dots j_l},$$
где
$$X_{i_1\dots i_k}=\begin{vmatrix}
x_{i_1}        & x_{i_2+1}    & \cdots & x_{i_k+k-1} \\
x_{i_1-1}     & x_{i_2}        & \cdots & x_{i_k+k-2} \\
\vdots           & \vdots           & \ddots & \vdots           \\
x_{i_1-k+1} & x_{i_2-k+2} & \cdots & x_{i_k} 
\end{vmatrix},$$
$$Y_{j_1\dots j_l}=\begin{vmatrix}
y_{j_1}        & y_{j_2+1}    & \cdots & y_{j_l+l-1} \\
y_{j_1-1}     & y_{j_2}        & \cdots & y_{j_l+l-2} \\
\vdots           & \vdots           & \ddots & \vdots          \\
y_{j_1-l+1} & y_{j_2-l+2} & \cdots & y_{j_l} 
\end{vmatrix},$$
$$0<i_1\leq i_2\leq\dots\leq i_k,$$
$$l=\max\limits_{p=1}^k i_p=i_k,$$
$$j_q=|\{p=1,\dots,k: i_p<l-q\}|.$$
($i_p$ и $j_q$ можно рассматривать как количество мест столбца $p$ и строки $q$ таблицы)

С помощью $\sum\limits_{i=0}^k (-1)^i x_i y_{k-i}=0$ представим $X_{i_1\dots i_k}$ в виде суммы определителей $X$ того же порядка раскладыванием в сумму последнего столбца, определители с одинаковыми столбцами сразу исключаем. При них стоят коэффициенты вида $(-1)^\lambda x_\nu$. При рассмотрении таблицы $(i_p,j_q)$ можно увидеть, что эти коэффициенты совпадают с коэффициентами, стоящими при определителях $Y$, равных по предположению доказываемого равенства соответствующим определителям из 1 разложения, в разложении $Y_{j_1\dots j_l}$ по первой строке (представление суммой алгебраических дополнений, умноженных на соответствующие члены строки).



Про получение представления таблицей определителей-слагаемых из исходной таблицы попробую написать позже. Или, может, есть способ оформить доказательство проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители
Сообщение26.02.2014, 21:53 


13/11/13
28
Если в определителях расставить нолики и единички, то все более-менее просто доказывается. Если $m>n$, то нолики и единички возникнут в определителе с иксами. Домножая строчки на соответствующие игреки легко занулить все столбцы выше диагональной единицы. При этом в первом ненулевом столбце будут чистые игреки. Далее последовательно домножаем столбцы на соответствующие иксы и превращаем их в игреки.
Дополнительно нужно еще доказать, что можно избавится от -1 в нечетных игреках. Я бы выписал как это работает на конкретном примере, но к сожалению моя техника владения tex нулевая. Надеюсь вы поймете мое весьма смутное описание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители
Сообщение09.11.2014, 23:21 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
В книге И.Макдональда "Симметрические функции и многочлены Холла" в 1.2 "Кольцо симметрических функций" доказывается равенство $\det(h_{\lambda_i-\mu_j-i+j})_{1\leqslant i,j\leqslant p}=\det(e_{\lambda_i'-\mu_j'-i+j})_{1\leqslant i,j\leqslant q}$, используя выполнение равенств $\sum\limits_{i=0}^n (-1)^n h_i e_{n-i}=0$, $e_0=h_0=1$, $e_i=h_i=0$ при $i<0$ и справедливость $\det A^{-1}_{I,J}=(-1)^{\sum\limits_I i+\sum\limits_J j}\det A_{\{0,\dots,n\}-J,\{0,\dots,n\}-I}$. При $\lambda_i=q, \mu_j=0$ получается
$$\begin{vmatrix}
h_q & \cdots & h_{q+p-1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
h_{q+1-p} & \cdots & h_q 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
x_p & \cdots & x_{q+p-1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
x_{p+1-q} & \cdots & x_p 
\end{vmatrix}.$$
($q\geqslant\lambda_1\geqslant\ldots\geqslant\lambda_p$ и $q\geqslant\mu_1\geqslant\ldots\geqslant\mu_p\geqslant 0$ - разбиения $\lambda$ и $\mu$, $\lambda'$ и $\mu'$ - сопряжённые им)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group