Помогите, пожалуйста решить старую задачу

[blondinka.ua]

Добрый вечер всем! Я учитель, готовлю народ к разным олимпиадам, в том числе и к Турниру Городов http://www.turgor.ru/problems/zktg/. Есть призеры. Но вот уже неделю не можем ни решить, ни найти решение старой и, наверное, всем известной задачи:
12.Четырехугольник таков, что его можно разбить на две равные части.

а) Доказать, что это можно сделать одним разрезом (здесь и далее — по прямой линии, как пишут в головоломках, одним разрубом).

б)Верно ли, что он имеет либо осевую, либо центральную симметрию?

Задача была на этом турнире в 1998 году http://www.turgor.ru/problems/zktg/

По пункту б вопросов нет, неверно, есть контрпримеры, например, прямоугольная трапеция с основаниями 2 и 4 и меньшей боковой стороной 6. Разрез по прямой через середину большей боковой стороны и делит меньшую боковую на отрезки 4 и 2, считая от конца меньшего основания.

А вот с пунктом а все тормозим - и я, и ученики мои. Помогите, интересно очень. Равные здесь - не просто равновеликие, а совмещаемые движением, можно несобственным.

Заранее благодарна.

[blondinka.ua]

Ой, увидела, что надо попытки решения. Итак, по п.а) Просто из подсчета количества углов частей, на который будет разбит четырехугольник, следует, что разрез либо соединяет противоположные вершины, либо начинается и заканчивается на противоположных сторонах. Для выпуклых также очевидно, что изломов у разреза может быть только четное число, иначе у частей будет разное количество углов, больших 180 градусов (например, если исходный 4-угольник выпуклый. а излом один, то одна часть будет выпуклым, а вторая - невыпуклым четырехугольником)
Ну и моя гипотеза - правда, недоказанная - для четырехугольников, не имеющих центра симметрии, разрез вообще может быть только отрезком прямой. Если я неправа - приведите контрпример. А если это правда, то разрезать на 2 равные части получится только тот 4-угольник, у которого есть 2 одинаковых угла.