Дифф. уравнение с переменными коэффициентами

[Lehrling]

Помогите, пожалуйста, решить следующее уравнение:

$$tu_{t} + \frac{1}{2}xu_{x}+\frac{1}{2}=0$$

Также было бы интересно узнать, какие физические ситуации приводят к уравнению

$$u_{t} = u_{xx} + e^{u}u_{x}$$

Мой научный руководитель намекает, что оно как-то связано со взрывами...
Эти два вопроса я поместил здесь вместе, потому что решение первого уравнения является одним из инвариантных решений нелинейного, и очень хотелось бы его получить

[Gordmit]

Мне кажется, что в первом уравнении замена переменных $t_1=t^2$, $x_1=x^2$ сводит его к уравнению с постоянными коэффициентами.

[Lehrling]

идея хорошая, но, по-моему, эта замена не приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:

$$tu_{t} = \sqrt{t_{1}}u_{t_{1}}\frac{\mathrm{d}t_{1}}{\mathrm{d}t}=2\sqrt{t_{1}}\cdotsi t\cdotsi u_{t_{1}} = 2t_{1}u_{t_{1}}$$

[RIP]

К уравнению с постоянными коэффициентами приводит стандартная замена $t_1=\ln|t|$, $x_1=\ln|x|$.