Определение условной вероятности

[Guliashik]

WARNING: Всё что ниже может показаться вам бредом сумасшедшего. Таковы последствия моего самообразования.

Предположим есть задача: В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Наудачу извлекают 4 детали. Найти вероятность, что все извлечённые детали окрашены.

Не будем её решать комбинаторно.

$A$ - первая деталь окрашена, $B$ - вторая, $C$ - третья, $D$ - четвёртая.
$P(ABCD) = P(ABC)P(D|ABC) = P(AB)P(C|AB)P(D|ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)P(D|ABC)$

Посчитаем $P(B|A)$. Поступают обычно так: убирают окрашенную деталь и пересчитывают вероятность $B$. $P(B|A)=5/9$. То есть адаптируем эксперимент с условиями произошедшего события. Но есть иной способ, который, в моём понимании, полностью соответствует определению условной вероятности. Очевидно, что если произошло событие $A$, то выпал один из $6A^{3}_{9}$ исходов. Тогда событию $B$ из этого подмножества исходов удовлетворяют $6\cdot5A^{2}_{8}$. Разделив одно на другое получаем также $5/9$.

Теперь вопрос. Какой способ верен с точки зрения определения условной вероятности? $P(A|B)=P(AB)/P(B)$. То есть исходя из формулы, условная вероятность есть ни что иное, как процент от исходов B, который также провоцирует и A. Очевидно что первый способ не будет работать с неравномерным распределением вероятности (собственно как и второй, но он, мне кажется, идеологически верный).

[gris]

Guliashik в сообщении #827065 писал(а):

Очевидно, что если произошло событие $A$, то выпал один из $6A^{3}_{9}$ исходов.

Очевидно, что нет.
Можно совмещать применение формул условной вероятности и комбинаторных в любой пропорции, если хочется. Лишь бы всё было правильно. Тогда результат не будет зависеть от пропорций безобразья совмещения.

[Александрович]

Guliashik в сообщении #827065 писал(а):

Предположим есть задача: В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Наудачу извлекают 4 детали. Найти вероятность, что все извлечённые детали окрашены.

$\frac{6}{10}\cdot...\cdot \frac{3}{7}$

[Guliashik]

gris в сообщении #827067 писал(а):

Guliashik в сообщении #827065 писал(а):

Очевидно, что если произошло событие $A$, то выпал один из $6A^{3}_{9}$ исходов.

Очевидно, что нет.
Можно совмещать применение формул условной вероятности и комбинаторных в любой пропорции, если хочется. Лишь бы всё было правильно. Тогда результат не будет зависеть от пропорций безобразья совмещения.

А почему неверно не подскажете? Всего исходов $A^{4}_{10}$. Выбрать так, чтобы первая деталь была окрашенной можно $6A^{3}_{9}$ способами.

[--mS--]

Guliashik в сообщении #827065 писал(а):

Очевидно, что если произошло событие $A$, то выпал один из $6A^{3}_{9}$ исходов. Тогда событию $B$ из этого подмножества исходов удовлетворяют $6\cdot5A^{2}_{8}$. Разделив одно на другое получаем также $5/9$.

Абсолютно верно.

Guliashik в сообщении #827065 писал(а):

Теперь вопрос. Какой способ верен с точки зрения определения условной вероятности?

Оба верны. Разумеется, и в том, и в другом подходе в этой задаче используется равновозможность исходов. А вообще есть определение условной вероятности, которому всё равно, равновозможны исходы или нет $\mathsf P(B|A)=\dfrac{\mathsf P(AB)}{\mathsf P(A)}$.