Задача А.Эйнштейна о значении числа Пи.

[Munin]

В общем, ваша задача с роботом отличается от исходной, и даст другое число.

[mishafromusa]

Хотелось бы найти более элементарное решение, чем прямолинейное применение метрики Шварцшильда, ведь это задача для школьников, как я понял.

[Munin]

Да, здесь, видимо, подразумевается оценка по размерности. Но вряд ли та, которую изобразил green5.

Если пользоваться знанием метрики Шварцшильда (и ньютоновского приближения ОТО), то отклонение геометрии пространства-времени от плоской в окрестности массивного тела (и в том числе, отклонение геометрии пространства) пропорционально гравитационному потенциалу. Это потенциальная энергия, поделённая на массу притягивающегося тела ("гравитационный заряд"), то есть величина, аналогичная электростатическому потенциалу.

Гравитационный потенциал, соответствующий ньютоновской формуле $F=\dfrac{Gm_1m_2}{R^2}$ (то есть, соответствующий точечному или сферически-симметричному телу; он называется ньютоновский потенциал), выглядит так: $U=-\dfrac{Gm_1}{R}.$ Знак "минус" отображает, что потенциал уменьшается при приближении к притягивающему телу: приближаться энергетически выгодно, потенциальная энергия при этом уменьшается.

Размерность потенциала будет, соответственно, $\mathrm{L^2T^{-2}}.$ Размерность гравитационной постоянной, которая, как указано выше, $[G]=\mathrm{L^3M^{-1}T^{-2}},$ делится на длину, и умножается на массу. Итак, получается размерность квадрата скорости. В общей теории относительности, построенной на основе специальной теории относительности, большую роль играет скорость света, которая связывает между собой явления в пространстве и во времени, так что величину гравитационного потенциала можно перевести в безразмерную величину, просто поделив на квадрат скорости света. И тогда эта величина будет напрямую указывать на величину искривления пространства относительно евклидового. В том числе, на отклонение отношения длины окружности к диаметру от числа $\pi.$

К сожалению, я не знаю, какая часть этой информации была изложена в "Кванте", чтобы остальное мог решить сам читатель.

[mishafromusa]

Это выглядит правдоподобно, но было бы интересно понять 3 вещи.

1) Почему искривление пространства пропорционально потенциалу.
2) Почему коэффициент пропорциональности именно 1/квадрат скорости света.
3) Как это связано с методом измерения длины.

Вероятно об этом и была статья в Кванте.
Какие книжки/статьи по ОТО Вы бы порекомендовали, чтобы в этом разобраться?
Наверное стоит почитать статью Эйнштейна из сборника "Принцип Относительности."

[Munin]

Для девятиклассника - никаких. Это всё вопросы, требующие углубления на уровне полноценного учебника ОТО.

Для вас - см. «Ищу литературу по…» - там перечислены многие рекомендации (в том числе и мои).

[Sicker]

Да задача вообще элементарна, даже для восьмиклассника пойдет
Берем метрику Швардшильда (временная составляющая метрики нам не нужна, и метрика стационарна), по заданному радиусу находим значение параметра $r$, и тогда длина окружности будет $2\pi r$
Делим длину окружности на длину радиуса и получаем ответ
P.S. Интересно, а нижнее значение параметра будет равно гравитационному радиусу?
Там же вроде корень будет отрицательным

[Munin]

Sicker в сообщении #827131 писал(а):

P.S. Интересно, а нижнее значение параметра будет равно гравитационному радиусу?

Да.

Вот только в описанном вами способе есть нюанс: нужно брать по заданному радиусу значение параметра $r.$ Это, боюсь, восьмикласснику будет трудновато. А с учётом того, что тело несферическое - и вам.

[green5]

Да, время через скорость света.
Только, что если с \to \infty,
восстанавливается Ньютонова механика, \pi.
Да и гравитационный потенциал \to 0, если делить на c (ну верно).
И соотвественно нет никакого притяжения :)

[Munin]

Почему-то NikitaUshakov в разговоре не участвует.

[mishafromusa]

Пригласите его обратно через личное сообщение, может он вернётся.

[NikitaUshakov]

Прошу прощения за то, что некоторое время не участвовал в обсуждении, сему послужила смена места жительства. Нет, никаких намеков на решение действительно нету. В исходной статье из 4 номера не было никакой статьи, посвящённой данной проблеме. Полагаю, что в 6 номере должно появиться решение.

-- 22.02.2014, 23:14 --

А можно узнать о гравитационном потенциале по-подробнее, пожалуйста? Это кажется то, о чем я думал, но никогда раньше не встречался и не смог развить идею.

[Munin]

Попробуйте почитать вот эти три книги:

Киттель, Найт, Рудерман. Механика.
Глава 5 и глава 9. (Иногда ошибочно лежит под названием "Киттель, Наут, Рудерман".)

Фейнмановские лекции по физике. Том 1.
Главы 9, 13 и 14.

Они читаются наиболее легко. И третья:

Матвеев. Механика и теория относительности.
Глава 6 и глава 7.