Множество значений функции

[volchenok]

подскажите пожалуйста как строить эти фрактальные рисунки значений функции (в данной статье это полиномы)

-- Чт фев 13, 2014 14:43:12 --

khg.kname.edu.ua/index.php/khg/article/download/226/224

[ИСН]

Хотел открыть, но лень.

[volchenok]

там статья обычная. Рассказывается про фрактальный метод локализации комплексных корней полиномов. Мне там не понятен такой момент: там строятся плоские разноцветные области - фрактальные рисунки множества значений этих полиномов. Ну и не понятно каких строить.

[svv]

volchenok
Я Вам предложу другой способ, который гораздо проще в реализации и тоже позволяет увидеть корни, и не только полиномов.
Возьмите прямоугольный (по форме окна программы) кусочек комплексной плоскости $z$. В точке $z$, соответствующей каждому пикселу окна, вычислите $w(z)$. И дальше красите пиксел в один из четырех цветов:
при $\operatorname{Re}w\geqslant 0, \operatorname{Im}w\geqslant 0$ — в красный;
при $\operatorname{Re}w<0, \operatorname{Im}w\geqslant 0$ — в желтый;
при $\operatorname{Re}w<0, \operatorname{Im}w<0$ — в зеленый;
при $\operatorname{Re}w\geqslant 0, \operatorname{Im}w<0$ — в синий.

Я даже не буду рассказывать, как увидеть корни $w(z)$, но не увидеть их (если они в пределах окна) невозможно. Попробуйте!

[volchenok]

Я попробую, но боюсь что время работы такой программы может быть очень большим. Я могу ошибаться конечно, но все равно спасибо. Но остается чисто математический интерес и любопытство: как же построить эти фрактальные множества значений.

[svv]

Возьмите для начала небольшое окно (скажем, $200\times 200$) и полином невысокой степени с известными корнями, лежащими в пределах окна (т.е. задайте его как $c(z-z_1)...(z-z_n)$).

40000 значений полинома 7-й степени? Да это секунды!

[volchenok]

Ну на самом деле у меня проблемка по сложней. Эту статью я читаю в связи с тем, что мне нужно найти комлексные корни огромного трансцендентного уравнения. Поэтому я задумался над временем вычисления вашего метода. А в этой статье предложенный хороший метод локализации корней.

-- Чт фев 13, 2014 22:20:12 --

Всем спасибо, кто пытался помочь. Я разобрался в чем дело. Тут строятся так называемые бессейны Ньютона. Очень красивые вещи. Так сказать математика во всей своей красе.

[volchenok]

Появился новый вопрос в связи с этими бассейнами. Бассейны Ньютона появляются при применении метода Ньютона во время нахождения комплексных корней. Существуют ли, например, бассейны Мюллера, которые появлялись бы при применении метода Мюллера? Постороить их, как я строил бассейны Ньютона, не получилось. Отсутствовала фрактальность и не видно было расположение корней, соответственно картинка отличалась от той, которую я получил после применения метода Ньютона, для одного и того же полинома. Может есть теорема, которая показывает что их не существует? Поиски в интернете не дали результатов :((( Заранее спасибо.

[ИСН]

Метод Ньютона подразумевает, что на каждом шаге у Вас есть одна точка. Вот эту-то одну точку мы и красим в какой-то там цвет, и т.д. и т.п.
В методе Мюллера - сейчас прочитал в вики, что это такое - на каждом шаге у Вас три точки. Что Вы собираетесь красить?

-- менее минуты назад --

С другой стороны, можно итерировать от одной точки, используя производные в ней. Это интересный вопрос: а правда, что тогда будет? Надо подумать.

[volchenok]

Ну там нужно задать три точки, но поскольку они должны быть близки друг к другу, я задаю одну точку, а остальные две получаю вычитанием и сложением с маленькой наперед заданной величиной.

[ИСН]

Ясно. Так вот, попробуйте эти операции с маленькой величиной заменить на операции с производными.

[volchenok]

Расскажите пожалуйста подробнее что мне нужно сделать с этими производными. Спасибо.

[ИСН]

Устремите свою маленькую величину к нулю. Получится несколько пределов. Раскройте их с помощью методов нахождения пределов. Получится выражение, в котором фигурируют производные, а маленькой величины совсем нет. Вот его и используйте.
Как ещё сказать? Знаете, есть такой метод секущих. Там тоже точки (только две), отстоящие на маленькую величину и всё такое. А что будет, если мы эту маленькую величину устремим к нулю? А вот что: секущая перейдёт в касательную, отношение конечных разностей - в производную, метод секущих - в метод Ньютона, а формулы - в другие формулы.
Вот то же самое надо сделать и тут.

[volchenok]

Да я понял Вас. Ну появятся вторые производные. Я посмотрю что получиться. Но мне желательно чтобы все производные заменять конечными разностями так как основной моей целью является локализовать корни большого трансцендентного уравнения, производные от которого посчитать очень сложно. Это уравнение представляет собой определитель 1000 на 1000. А по поводу самого метода Мюллера (там где нет производных) ничего не подскажите? Буду очень благодарен за любую идею. Спасибо.

[ИСН]

А что подсказать? В методе Мюллера три точки. Что Вы собираетесь красить?