Неравенство

[anna.tomy]

Дорогие форумчане, помогите пожалуйста решить неравенство или подскажите ссылку, где можно найти доказательство.
Пусть $0<\alpha<\infty.$ Нужно доказать, что для любых $a,b\ge 0,$ существует положительная константа $C_\alpha$ не зависящая от $a,b,$ возможно зависящая от $\alpha,$ такая что
$(a+b)^\alpha\le C_\alpha (a^\alpha+b^\alpha).$

В случае $\alpha\ge 1$ решение простое. В этом случае, функция $f(x)=(1+x)^\alpha$ является выпуклой и поэтому
$\left(\frac{1+x}{2}\right)^\alpha\le\frac{1+x^\alpha}{2}.$ Отсюда следует, что
$(1+x)^\alpha\le 2^{\alpha-1}(1+x^\alpha).$
Осталось взять $x=\frac{a}{b}.$

Что же будет в случае $0<\alpha<1$?

[netang]

По моему, при $0 < \alpha < 1$ выполняется $(a+b)^{\alpha} < (a^{\alpha} + b^{\alpha})$
Поэтому для случая $0 < \alpha < 1$ можно выбрать $C \geqslant 1$

-- 12.02.2014, 11:12 --

Пусть $\alpha = 1/z$, где $z$ - натуральное число больше единицы.
Возведем обе части $(a+b)^{\alpha} ? (a^{\alpha} + b^{\alpha})$ в степень равную $z$, получим $(a+b) < (a + ... + b)$, то есть заданное неравенство выполняется при $0 < \alpha \leqslant 1/2$ и $C \geqslant 1$

[anna.tomy]

netang в сообщении #825487 писал(а):

Пусть $\alpha = 1/z$, где $z$ - натуральное число больше единицы.
Возведем обе части $(a+b)^{\alpha} ? (a^{\alpha} + b^{\alpha})$ в степень равную $z$, получим $(a+b) < (a + ... + b)$, то есть заданное неравенство выполняется при $0 < \alpha \leqslant 1/2$ и $C \geqslant 1$

не очень понятно, что получается справа после возведения в степень $z$?

[netang]

Допустим $z = 2$, тогда получаем(по формуле сокращенного умножения) $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b$.
Допустим $z = 3$, тогда получаем $(a^{(1/3)}+b^{(1/3)})^3 = a + 3a^{(1/3)^2}b^{(1/3)} + 3a^{(1/3)}b^{(1/3)^2} + b$.
Допустим $z = n$, тогда получаем $(a^{(1/n)}+b^{(1/n)})^n = a + ...$ (какое то выражение) $... + b$.

[nnosipov]

anna.tomy в сообщении #825460 писал(а):

Пусть $0<\alpha<\infty.$ Нужно доказать, что для любых $a,b\ge 0,$ существует положительная константа $C_\alpha$ не зависящая от $a,b,$ возможно зависящая от $\alpha,$ такая что
$(a+b)^\alpha\le C_\alpha (a^\alpha+b^\alpha).$

Тупо (т.е. при помощи производной) исследуйте функцию

$$ f(x)=\frac{(1+x)^\alpha}{1+x^\alpha} $$

на максимум при $x \geqslant 0$.

[anna.tomy]

Спасибо!