Вычисление интеграла, разложение в ряд.

[hidden swosd]

Окольным путем получен результат:
$\int^\infty_0\frac{r b^m}{(r-b)^2} db = - \pi m r^m $ при $0<m<1$.
Как его доказать?
Или хотя бы, что интеграл при стремлении $r\to \infty$ ограничен $r^\alpha$, $\alpha<1$?
(Думал о разложении в ряд, но ничего не придумал.
Maple считает, - видимо, оно есть.)

[Ms-dos4]

Это неверно. Интеграл равен $\[\int\limits_0^\infty {\frac{{r{b^m}}}{{{{(b - r)}^2}}}} db = \frac{{{{( - 1)}^{m + 1}}m\pi {r^m}}}{{\sin (m\pi )}}\]$, причём он сходится к этому результату лишь при $\[m \in ( - 1,1)\]$ и $\[r \le 0\]$. При других параметрах он расходится.

[hidden swosd]

$\int^\infty_0 \frac{rb^{\frac{1}{2}}}{(r-b)^2} db = -\frac{\pi}{2}r^\frac{1}{2}$

[Ms-dos4]

hidden swosd
Вообще-то этот интеграл равен $\[ - \frac{1}{2}\pi \sqrt { - r} \]$, и причём, это верно только при $\[r \le 0\]$, иначе интегрирование будет вестись через разрыв.

[hidden swosd]

Ссылку Pls

[Ms-dos4]

hidden swosd
Если самим лень считать, то можете в альфе посмотреть

[hidden swosd]

Спасибо. Мне нравится. Отрицательные "$r$" - OK
Как доказать, что модуль интеграла при стремлении $r\to -\infty$ стремится к бесконечности, медленнее,
чем модуль от $r$?
(Судя по неск.значениям в ссылке он себя так и ведет)

[Ms-dos4]

Я уже писал, что $\[\int\limits_0^\infty {\frac{{r{b^m}}}{{{{(b - r)}^2}}}} db = \frac{{{{( - 1)}^{m + 1}}m\pi {r^m}}}{{\sin (m\pi )}}\]$, где $\[r \le 0\]$ и $\[m \in ( - 1,1)\]$. Т.е. при $\[r \to - \infty \]$ выполняется эквивалентность $\[\left| {\int\limits_0^\infty {\frac{{r{b^m}}}{{{{(b - r)}^2}}}} db} \right| \sim {\left| r \right|^m}\]$, где $\[m \in ( - 1,1)\]$. Т.к. $\[\left| m \right| < 1\]$, то и растёт интеграл медленнее модуля $\[r\]$ (но может расти сколь угодно близко к нему, а если $\[\left| m \right| \ge 1\]$ то и вовсе разойдётся).

[hidden swosd]

Спасибо