Сумма степеней

[Terraniux]

Не знаю, как по сложности...

Для любого ли натурального числа $n$ существуют такие натуральное $m$ и действительное $\alpha$, что $n = 1^\alpha + 2^\alpha + 3^\alpha+\ldots + m^\alpha$?

[kp9r4d]

Да
При $n=1$ будет $m=1$ $\alpha=1$.
При $n>1$ достаточно взять $m=2$ и функция $1^\alpha+2^\alpha$ непрерывно зависит от $\alpha$ и принимает все значения в интервале $(1,+\infty)$ по теореме о промежуточном значении и получаем искомое.

[venco]

Всё ещё проще: $m=n, \alpha=0$.

[Terraniux]

Да, а если ограничиться множеством $(-1,1)\backslash \{0\}$ для $\alpha$?

[_Ivana]

Так же, для любого $n$ подберем $m$, что при двух разных альфах зажмем $n$ в вилку, а дальше все та же непрерывность и теорема Больцано-Коши.
Если надо подробнее почему подберем - гармонический ряд расходится, а при данном интервале степени сумма больше частичной суммы гармонического ряда.

[Terraniux]

Понятно, а я думал, здесь будут какие-либо трюки с иррациональностью.