изоморфизмы групп

[gefest_md]

Задача из учебника Милованов Алгебра и аналитическая геометрия часть 1, стр. 102:

Цитата:

Пусть $G$- конечная группа, на которой действует автоморфизм $\varphi$, удовлетворяющий следующим двум условиям: 1) $\varphi^2=e_G;$ 2) $\varphi(a)\not= a$, если $a\not= e.$ Докажите, что $G$ - абелева группа нечетного порядка.

$\varphi(x)=y\leftrightarrow\varphi(y)=x$ и также известно, что $\varphi(e)=e$. Отсюда "вижу", что $G$ - группа нечетного порядка. Помогите пожалуйста показать коммутативность. Возможно ли доказать, что $\varphi(a)=a^{-1}$?

[iifat]

Помедитируйте над $a\varphi(a)$

[AV_77]

Лучше $a^{-1} \varphi(a)$.