Предположим, например, что математика в принципе не работает. То есть, пройдя по короткой (доступной нам) цепочке рассуждений, мы получим А, а пройдя по гораздо-гораздо более длинной, получим не-А. И вся её (математики) эффективность, заключена в невозможности осилить длинную (но столь же логически последовательную) цепочку.
Не беда, надо лишь продолжить цепочку рассуждений и вывести из не-А снова А. Таким образом, круг замкнётся. :)
А если серьёзно, то, насколько я понимаю, подобная ситуация означала бы противоречивость выбранной аксиоматики, но никак не ущербность математики в целом. :) Если где-то возникает парадокс, значит, нужно просто уточнить используемые понятия.
По поводу непогрешимости логически последовательных цепочек. Классический пример. :)
Два человека, один из которых старше другого всего на миллисекунду, очевидно, являются ровесниками... Выстраиваем длинную цепочку из людей, где каждый следующий старше предыдущего на одну миллисекунду (от младенца и до старика). Если мы начнём смотреть с младенца и пойдём вдоль цепочки, то будем вынуждены признать, что все люди в цепочке — его ровесники, т.е. младенцы. (Ведь мы не сможем указать момент, когда рядом стоящие люди перестают быть ровесниками.) Если же мы начнём со старика, то получится, что все в цепочке — старики.
Такая вот прикольная ситуация, парадокс в рамках классической логики. :) Ну и что, небо не рушится на землю от этого. Просто надо аккуратнее относиться к "очевидным" вещам.