Задача по геометрии - помогите сообразить

[Eiktyrnir]

В трапеции $MPKD$ диагонали $MK$ и $PD$ взаимно перпендикулярны, средняя линия равна $15$. На большем основании $MD$ взята точка $A$ так, что $MA=15$. Найдите $KA$.
Мои попытки решения...
Если $PD \bot MK$, то средняя линия есть высота трапеции, тогда

$Str= \frac {1}{2}EFsin\alpha=225$

$AM+AD+PK=30$

$MK \cdot PD=PM \cdot KD$

Может быть здесь можно применить теорему Птоломея?

Выделил красным - параллелограмм, зеленый достроил сам, но незнаю поможет ли он здесь?
Будьте добры навести на мысль, други?

[_Ivana]

Условие понятно. Непонятно, почему вы считаете трапецию равнобочной, а ее среднюю линию - высотой.

[matidiot]

Если трапеция действительно равнобочная, то $KA$ и будет высота, равная средней линии, хотя это не совсем очевидно и надо доказывать. А если трапеция неравнобочная, то в задаче явно чего-то не хватает!

[_Ivana]

А у меня навскидку получается при любой трапеции искомая длина равна средней линии, и особо доказывать ничего не надо. Но решение же выкладывать нельзя

[matidiot]

_Ivana в сообщении #824657 писал(а):

А у меня навскидку получается при любой трапеции искомая длина равна средней линии, и особо доказывать ничего не надо. Но решение же выкладывать нельзя

А у Вас решение через $x$ и $y$ или через геометрические преобразования? У меня алгебраическое решение с использованием теоремы Пифагора.

[_Ivana]

Угадали, в общем и целом. Система координат, $x$ и $y$, пара простейших операций, доступных школьнику, и выход на финальный геометрический факт, из которого следует ответ.

ЗЫ вы поправили, я добавлю. У меня без теоремы Пифагора, просто тривиально доказывается равнобедренность одного треугольника, из которой следует равенство его боковых сторон. Хотя можно и через Пифагора, это чуть зануднее, но совсем "чисто алгоритмически", без примеси даже элементарной геометрии.

[Eiktyrnir]

_Ivana в сообщении #824657 писал(а):

А у меня навскидку получается при любой трапеции искомая длина равна средней линии, и особо доказывать ничего не надо. Но решение же выкладывать нельзя

Да трапеция не равнобокая (это я конечно просто упустил), а насчёт того как это так получается у вас, что при любой трапеции длина $KA$ есть средняя линия? Можно навести на мысль, пожалуйста?

[_Ivana]

Выше уже было 2 варианта наведения на мысль, вам понятен принцип решения геометрических задач через сведение их к алгебраическим путем ввода системы координат? Чуть конкретнее про мой вариант - доказываете (любым способом, какой нравится) равнобедренность треугольника $MKA$. Если буду расписывать подробнее, получится уже решение.

ЗЫ очень вероятно, что предложат вариант чисто геометрического решения, но имхо лучше освоить алгебраический подход. Итак, если согласны - вводите в вашу задачу систему координат - самым удобным образом. Часто от способа ее введения зависит громоздкость получаемых формул. Как ее удобнее ввести в данном случае?

[provincialka]

Можно и без координат. Достаточно тригонометрии: найти $AK$ по теореме косинусов из треугольника $MAK$. Оказывается, что ответ не зависит от угла $KMA$. И высоту трапеции использовать не обязательно.

[matidiot]

С помощью Пифагора элементарнее получается без координат и косинусов. Только надо выбрать удачно неизвестные $x$, $y$ и найти вспомогательный треугольник, в котором $AK$ будет медианой!

[_Ivana]

Конечно можно, я предсказывал Тут сама задача настолько элементарна, что навскидку множество методов решения можно привести. Но тут вопрос другой. В очередной раз повторю понравившуюся мне цитату

Oleg Zubelevich в сообщении #792529 писал(а):

Да, да, все правильно. А уравнения движения они так и не выучиваются писать. Никогда. Поэтому в голове уних остается ощущение того, что каждая задача уникальна.

Так вот, чтобы не было такого ощущения, и чтобы не приходилось держать в голове ворох специфических геометрических теорем и фамилий типа Птолемея, я и предлагаю освоить этот простой и эффективный алгебраический метод. По которому, кстати, один ЗУ этого форума написал программу, которая вычисляет/доказывает подобные задачки за доли секунды. Разумеется, если ТС это интересно.

[provincialka]

_Ivana, Вы разрушитель красоты!

[TOTAL]

Не трогая диагоналей, нижнее и верхнее основание параллельно сдвигаем на одинаковое расстояние так, что короткое основание пройдет через точку пересечения диагоналей. Теперь надо найти расстояние от вершины прямого угла до середины гипотенузу (равной 30).

[matidiot]

Или передвинуть диагональ $PD$ параллельно вправо на $PK$, получаем тот же прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна $30$. Теперь достаточно посмотреть на отрезок $AK$ - в какой пропорции он будет делить эту гипотенузу?

[_Ivana]

Или показать, что задача аффинная (если я правильно понимаю это слово), решить ее для равнобочной или прямоугольной или любой другой удобной трапеции, и сделать вывод о неизменности ответа при снятии этого дополнительного условия. Кто еще что предложит? Все равно ТС уже, похоже, потерял интерес к задаче.