Что больше?

[VAL]

Девятиклассникам на олимпиаде (не в Сочи) задали задачу сравнить два числа $(100!)!$ и $99!^{100!}\cdot 100!^{99!}$.
С помощью Стирлинга и компа я их, конечно, сравнил.
Но как это можно было сделать девятиклассникам, у которых не было с собой ни того, ни другого, что-то не соображу.

[Xaositect]

Эм, условие точно правильно записано? Так задача какая-то слишком легкая.

[VAL]

VAL в сообщении #824108 писал(а):

Девятиклассникам на олимпиаде (не в Сочи) задали задачу сравнить два числа $(100!)!$ и $99!^{100!}\cdot 100!^{99!}$.
С помощью Стирлинга и компа я их, конечно, сравнил.
Но как это можно было сделать девятиклассникам, у которых не было с собой ни того, ни другого, что-то не соображу.

-- 08 фев 2014, 14:58 --

Xaositect в сообщении #824111 писал(а):

Эм, условие точно правильно записано? Так задача какая-то слишком легкая.

Теперь точно! (Видимо, Shift слабо нажал.)

[provincialka]

VAL, наверное, им разбор делали? У меня есть текст решения (от московской комиссии), но сама я не решала. К сожалению, во второй день я проверяла 11 класс, так что не знаю, решили ли ее девятиклассники. Могу спросить у коллег. Но решение там понятное.

[Xaositect]

$(100!)! = 99!^{100!}\cdot (\frac{1}{99!}\cdot \frac{2}{99!}\cdot \dots\cdot \frac{100!}{99!})$. Округляем все дроби вверх. Получаем $(100!)! < 99!^{100!} (1^{99!} 2^{99!}\cdot 100^{99!})= 99!^{100!} 100!^{99!}$

[EtCetera]

Wolfram Alpha почему-то считает, что там знак в другую сторону.

[VAL]

Xaositect в сообщении #824146 писал(а):

$(100!)! = 99!^{100!}\cdot (\frac{1}{99!}\cdot \frac{2}{99!}\cdot \dots\cdot \frac{100!}{99!})$.

Это равенство не может быть верным. Левая часть делится на простые, бОльшие $100!$, а правая - нет.

[EtCetera]

VAL в сообщении #824159 писал(а):

Левая часть делится на простые, бОльшие $100!$

Как это возможно?

[VAL]

EtCetera в сообщении #824161 писал(а):

VAL в сообщении #824159 писал(а):

Левая часть делится на простые, бОльшие $100!$

Как это возможно?

Никак. Соврал
Я не Цезарь. Надо либо решать, либо Олимпиаду смотреть. А я совмещать пытаюсь.

PS: Но равенство все равно не верно. Левая часть делится на простые, бОльшие $99!$, а правая - нет.
PPS: Впрочем, Олимпиаду я по-прежнему смотрю

[Nemiroff]

EtCetera в сообщении #824151 писал(а):

Wolfram Alpha почему-то считает, что там знак в другую сторону.

Сравните второй результат с

http://www.wolframalpha.com/input/?i=99!^100!

[VAL]

EtCetera в сообщении #824151 писал(а):

Wolfram Alpha почему-то считает, что там знак в другую сторону.

У меня получился знак в ту же сторону, что у Xaositect'а. Но логарифмы сравниваемых чисел отличаются лишь в пятом знаке.

[EtCetera]

VAL

VAL в сообщении #824164 писал(а):

PS: Но равенство все равно не верно. Левая часть делится на простые, бОльшие $99!$, а правая - нет.

Да нет, равенство правильное. Но вот дальнейший переход я не понимаю.

Nemiroff
Чудеса в решете.

[Xaositect]

EtCetera в сообщении #824177 писал(а):

Да нет, равенство правильное. Но вот дальнейший переход я не понимаю.

сомножители от $\frac{1}{99!}$ до $\frac{99!}{99!}$ оцениваются сверху единицей, от $\frac{99!+1}{99!}$ до $\frac{2\cdot 99!}{99!}$ - двойкой, и так далее.

[VAL]

EtCetera в сообщении #824177 писал(а):

VAL

VAL в сообщении #824164 писал(а):

PS: Но равенство все равно не верно. Левая часть делится на простые, бОльшие $99!$, а правая - нет.

Да нет, равенство правильное.

Угу.
Написано одно - а я представляю себе другое

[EtCetera]

Xaositect
Понял, спасибо. Отличное решение!