Производная сложной функции.

[kthxbye]

$y=((((x^x)^x)^x)^x...)^x$

Чему равна производная данной функции по $x$, если количество возведений в степень $x$ равно $n$?

[Алексей К.]

А функцию нельзя попроще записать? Ну хотя бы для $n=3$, т.е. $\left(\left(x^x\right)^x\right)^x$?

[gris]

Алексей К., Ваша формула неограничена сверху при $n\to\infty$

Хотя там может быть сходящийся ряд... Ну тогда по ней можно сконструировать итерационный процесс.

[Утундрий]

Случай $n=2$ тоже будит мысль: $\left( {x^x } \right)^x = ?$

[gris]

Это не интересно. Надо переставить скобки $f(x)=x^{(x^{(x^{(x^{(x....))))}}}}$. Эта функция лучше.

[Алексей К.]

gris в сообщении #823446 писал(а):

Алексей К., Ваша формула неограничена сверху при $n\to\infty$

Я давно здесь не был и подзабыл математику. А формула показалась ограниченной: заметьте, скобки, и внешние, и внутренние, одинаковой высоты, хотя я позаботился о...
Но мне очень робко показалось, что существует упрощение, при любом $n$ --- всего лишь трёхэтажное. Не будучи сильно уверенным, я и предложил ТС его поискать. Если снова лопухнулся --- ваще слиняю. Т.е. на год.

А если я не лопухнулся зпт и ТС подтвердит мои догадки, то мы с ним еёё отдифференцируем и в хвост, и в гриву.
Заодно, может, уточним понятие сложной функции. Ибо он(а), похоже, думает, что сложная и трудная --- одно и то же.

[gris]

Алексей К., да Вы что! Вы абсолютно правы. Это я просто обрадовался, что Вы наконец появились, и решил тоже сказать что-то по теме. И именно равенство высоты скобок меня взволновало. И зачем тогда лефты и райты? Это же потрясение основ!

Но ТС пропал, а тут и слова нельзя вымолвить, чтобы не получилось почти-решение. Ну разве что обозначить иксы разными буквами: $f=(a^b)^c=?$, чтобы формула была, как в учебнике. Кстати, не каждый решится в этой формуле заменить все буквы на одну.

Но, может быть, там дело именно в дифференцировании, а не в упрощении формулы? Тогда мне, например, проще не через экспоненту с логарифмом, а через две дополнительные переменные: $f(x)=f(u(x),v(x)); f_x=f_u\cdot u_x+f_v\cdot v_x$

[Алексей К.]

gris в сообщении #823632 писал(а):

Ну разве что обозначить иксы разными буквами:

Да-да, именно этот приём мне вчера и помог разобраться... Вы, похоже, тоже прекрасный методист!

[kthxbye]

Позвольте, чем отличается $((x^x)^x)^x$ от $\left(\left(x^x\right)^x\right)^x$ или, скажем, $x^{(x^{(x^{(x^{(x....))))}}}}$ ? Такой вид гораздо удобнее для записи, нежели диагональ. Однако все же приношу свои извинения за непреднамеренное введение вас в заблуждение по причине моей неинформированности.

Алексей К. в сообщении #823528 писал(а):

Ибо он(а), похоже, думает, что сложная и трудная --- одно и то же.

Отнюдь, именно сложная, по определению функция от функции.

[arseniiv]

kthxbye в сообщении #825588 писал(а):

Позвольте, чем отличается $((x^x)^x)^x$ от $\left(\left(x^x\right)^x\right)^x$ или, скажем, $x^{(x^{(x^{(x^{(x\ldots))))}}}}$ ?

Первое от второго не отличается, и оба отличаются от третьего. Запись $x^{x^{x^\ldots}}$ — как раз о третьем.

-- Ср фев 12, 2014 17:52:50 --

Если $x^y$ записать в стрелочной нотации $x\uparrow y$, то запись $x\uparrow x\uparrow x\uparrow x$ означает как раз $x\uparrow(x\uparrow(x\uparrow x))$, а не $((x\uparrow x)\uparrow x)\uparrow x$. Причины таких соглашений просты: последняя запись легко упрощается в запись с одним возведением в степень, тогда как предпоследняя так не умеет. Так что для уменьшения ряби от скобок выходит разумнее опускать скобки в ней, а первую заблаговременно упрощать.

[gris]

kthxbye, мы все дружно пытались Вам ненавязчиво намекнуть, что выражение перед дифференцированием можно упростить, и даже было озвучено, во что: в трёхэтажную конструкцию. При такой расстановке скобок это вполне возможно, в отличие от третьего варианта. При особой любви к сложным функциям можно обойтись и без этого.