Савченко. Задача№5.4.6

[Ismatulla]

Савченко. Издание второе. 1988 г. Задача№5.4.6

В сосуде находится газ под давлением Р. В стенке сосуда имеется отверстие площади S, размеры которого малы по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа. Определите реактивную силу, испытываемую сосудом при истечение газа в вакуумное пространство.

Напрашивающее решение:

$F = F_{1} - F_{2} = PS_{1} - PS_{2} = PS$

где $F_{1}, F_{2}$ - силы действующие на противоположные стенки сосуда, $S_{1}, S_{2}$ - площадь противоположных стенок сосуда, $S_{2}$ - площадь стенки с отверстием.

Смотрим в ответ: $F = PS/2$

Чего я не учел? Или просто опечатка?

[DimaM]

Нестрого: поток через отверстие $q=snv_T/6$, где $n$ - концентрация, $v_T$ - тепловая скорость, шестерка - потому что частицы могут лететь, грубо говоря, по шести разным направлениям, из них только одно ведет из дырочки наружу. Поток импульса $\Pi=mv_tq=snv_T^2/6$ - он же сила. Вспоминая, что $v_T=3kT/m$, а давление $P=nkT$, получаем искомые $Ps/2$.
Более строго: поток $dq=sv_xdn$, поток импульса $d\Pi=mv_xdq$. Дальше надо подставить $dn$ из распределения Максвелла и проинтегрировать по $v_x$ от нуля до бесконечности, получится тот же ответ.
Напрашивающееся решение через давление завсегда дает ошибку раза в два, хотя, возможно, в другую сторону.
А в чем олимпиадность увидели?

[Ismatulla]

DimaM в сообщении #823309 писал(а):

А в чем олимпиадность увидели?

Савченко, же.

Почему не имеем право решать через давление? В чем ошибка?

[DimaM]

Ismatulla в сообщении #823320 писал(а):

Савченко, же.

Так ведь без звездочки.

Ismatulla в сообщении #823320 писал(а):

Почему не имеем право решать через давление? В чем ошибка?

Потому что вблизи маленькой дырочки давление ненулевое.
(Вот вблизи большой - практически нулевое, но там понижается и у стенок в окрестности, поэтому обычно выходит больше, чем $Ps$.)

[lucien]

Я считаю, что не прав тут именно Савченко. Ответ $F_1 = PS/2$ -- это импульс за единицу времени вылетающих частиц. Сила, действующая на сосуд будет именно $F = PS$. Разница обусловлена тем, что в движение приходит газ внутри сосуда (т.е. $F_2 = PS/2$ -- импульс, приобретаемый газом внутри сосуда за единицу времени).

[Munin]

Газ, движущийся в сосуде, будет рано или поздно заторможен самим сосудом, то есть передаст импульс сосуду. Для сосуда, свободно висящего в космосе, ответ Савченко правильный.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[lucien]

Munin в сообщении #823340 писал(а):

Газ, движущийся в сосуде, будет рано или поздно заторможен самим сосудом, то есть передаст импульс сосуду. Для сосуда, свободно висящего в космосе, ответ Савченко правильный.

Не могу с этим согласиться. На сосуд действует только давление газа. Проинтегрировав по поверхности сосуда, получим $F = PS$. Это есть полное изменение импульса вещества в сосуде -- как того, что покидает сосуд, так и внутреннего газа.

Munin в сообщении #823340 писал(а):

Газ, движущийся в сосуде, будет рано или поздно заторможен самим сосудом, то есть передаст импульс сосуду.

Нет, т.к. распределение давления там неоднородное.

[Munin]

lucien в сообщении #823344 писал(а):

На сосуд действует только давление газа.

Но не только статическое. Поток импульса, начинающийся от дырочки, будет бить в противоположную стенку сосуда.

Ваш ответ подходит только для случая, когда поток не установился: дырочку только открыли, а объём сосуда велик, и поток газа в нём не установился, и не начал давить на противоположную стенку (или на внутренние перегородки, если мы рассматриваем космический корабль).

И только для случая, если буквоедски читать не "реактивную силу, испытываемую системой (сосудом и газом внутри него)", а "реактивную силу, испытываемую сосудом, без учёта газа". При таких интерпретациях формулировок задач, и грузовик с канарейками может изменить вес, когда канарейки взлетят (правда, очень ненадолго).

lucien в сообщении #823344 писал(а):

Нет, т.к. распределение давления там неоднородное.

Ну и куда в конце концов поток импульса денется с подводной лодки? :-)

[DimaM]

lucien в сообщении #823344 писал(а):

На сосуд действует только давление газа.

Для дырочки, много меньшей длины свободного пробега, про давление вообще неправомерно говорить. Соответственно, и интегрировать неправильно.

Munin в сообщении #823350 писал(а):

для случая, когда поток не установился: дырочку только открыли, а объём сосуда велик, и поток газа в нём не установился, и не начал давить на противоположную стенку

Это должен быть ну очень большой сосуд, потому как начинает давить, когда приходит волна разрежения (со скоростью звука).

[Munin]

DimaM в сообщении #823354 писал(а):

Для дырочки, много меньшей длины свободного пробега, про давление вообще неправомерно говорить.

Ну почему, можно усреднить по времени, вместо пространственных координат. У нас будет передача импульса от ударов молекул на стенки. Правда, учитывать импульс, который несут молекулы, движущиеся в разные стороны, всё равно придётся раздельно.

DimaM в сообщении #823354 писал(а):

Это должен быть ну очень большой сосуд, потому как начинает давить, когда приходит волна разрежения (со скоростью звука).

Я знаю. Вопрос в том, чтобы объяснить это lucien.

[lucien]

Munin в сообщении #823355 писал(а):

DimaM в сообщении #823354 писал(а):

Это должен быть ну очень большой сосуд, потому как начинает давить, когда приходит волна разрежения (со скоростью звука).

Я знаю. Вопрос в том, чтобы объяснить это lucien.

Вначале вы должны сами понять, что подобное рассмотрение (распространение возмущения со скоростью звука) для микроскопической дырочки неприменимо. Там нет ни каких звуковых волн.

-- 06.02.2014, 12:58 --

Munin в сообщении #823350 писал(а):

И только для случая, если буквоедски читать не "реактивную силу, испытываемую системой (сосудом и газом внутри него)", а "реактивную силу, испытываемую сосудом, без учёта газа".

Я читаю так, как написано. Правильно было бы изменить формулировку: "найти импульс, уносимый вылетающим газом за единицу времени".

[Ismatulla]

Munin в сообщении #823350 писал(а):

lucien в сообщении #823344 писал(а):

На сосуд действует только давление газа.

Но не только статическое. Поток импульса, начинающийся от дырочки, будет бить в противоположную стенку сосуда.

Думаете, внутри появится ветер в противоположную сторону от дырочки? Помоему все ветра будут направлены в сторону дырочки, так как там концентрация газа уменьшилось.

-- 06.02.2014, 16:29 --

DimaM в сообщении #823354 писал(а):

Для дырочки, много меньшей длины свободного пробега, про давление вообще неправомерно говорить. Соответственно, и интегрировать неправильно.

А если дырочка была бы побольше, тогда через давление можно было решать?

[Munin]

lucien в сообщении #823377 писал(а):

Вначале вы должны сами понять, что подобное рассмотрение (распространение возмущения со скоростью звука) для микроскопической дырочки неприменимо. Там нет ни каких звуковых волн.

На масштабе дырочки нет. Потом подальше от дырочки - пойдёт именно звуковая волна. И дойдёт до противоположной стенки сосуда.

Надеюсь, вы не думаете, что газ на всём масштабе сосуда бесстолкновительный? Впрочем, это бы как раз повлияло на ваш анализ.

lucien в сообщении #823377 писал(а):

Я читаю так, как написано. Правильно было бы изменить формулировку: "найти импульс, уносимый вылетающим газом за единицу времени".

Ну, Савченко, видимо, подумал, что читатели сообразят, что это одно и то же. Плохой, плохой Савченко. Но всё-таки не ошибшийся в решении.

Ismatulla в сообщении #823384 писал(а):

Думаете, внутри появится ветер в противоположную сторону от дырочки?

Не ветер. Поток импульса. Уж как он будет выглядеть в виде течений газа - я навскидку не скажу.

Впрочем, если навскидку и без ответственности... вокруг дырочки будет пониженное давление. Но не изотропно пониженное (по закону Паскаля), а с боков пониженное, а позади - почти не пониженное. Готов отказаться от этого, если окажется, что бред.

Ismatulla в сообщении #823384 писал(а):

А если дырочка была бы побольше, тогда через давление можно было решать?

Не просто побольше, а существенно побольше: не $\sqrt{S}\ll\lambda,$ а $\sqrt{S}\gg\lambda.$ Тогда истечение через дырочку будет подчиняться законам гидродинамики (точнее, аэродинамики), а не законам молекулярной физики. А между этими двумя пределами - переходный режим.

[lucien]

Цитата:

На масштабе дырочки нет. Потом подальше от дырочки - пойдёт именно звуковая волна.

Интересно у вас получается -- источником звука является объект с размерами меньше длины свободного пробега! Распространение возмущения чисто диффузионное.