Пространство решений системы уравнений в ЧП

[DLL]

Рассмотрим систему из шести уравнений в частных производных:

${\partial}_t k_1 = {\partial}_s w_1,$
${\partial}_t k_2 = {\partial}_s w_2,$
$w_1 k_2 = w_2 k_1,$
${\partial}_t v_1 - {\partial}_s v_1 + w_2 = 0,$
${\partial}_t v_2 - {\partial}_s v_2 - w_1 = 0,$
$k_1 v_2 - k_2 v_1 = 0,$

где
$k_1 = k_1 (s,t), k_2 = k_2 (s,t), w_1 = w_1 (s,t), w_2 = w_2 (s,t),$
$v_1 = v_1 (s,t), v_2 = v_2 (s,t)$ - неизвестные функции.

Сколько произвольных функций содержит общее решение?

[hostagedown]

Граничные и начальные условия есть?

[DLL]

Для линейных уравнений этот вопрос решается и практически алгоритмически.
А вот для нелинейных мне лично неизвестно...

Проблема еще и в том, что из общих соображений не получается решить эту проблему.
Например, если мы фиксируем $k_1$, то первое уравнение мы можем разрешить.
А потом и второе, используя третье. Далее, можно разрешить четвертое и пятое, но может возникнуть противоречие с шестым...

-- Ср фев 12, 2014 13:41:14 --

Цитата:

Граничные и начальные условия есть?

Нет, пока что вопрос - это степени свободы у системы...

[Munin]

DLL в сообщении #825556 писал(а):

А вот для нелинейных мне лично неизвестно...

Линеаризуйте, ответ от этого измениться не должен.

-- 12.02.2014 13:49:19 --

Третье и шестое уравнения - алгебраические, позволяют исключить две из шести неизвестных функций (например, $w_2$ и $v_2$).

[svv]

Из первых двух уравнений следует, что локально (а в случае односвязной области и глобально) существуют такие функции $p_1, p_2$, что
$\begin{matrix}k_1=\partial_s p_1&w_1=\partial_t p_1\\k_2=\partial_s p_2&w_2=\partial_t p_2\end{martix}$
Это позволяет уменьшить на 2 количество неизвестных.

Теперь можно четвертое и пятое уравнения записать в виде
$\partial_t(v_1+p_2)=\partial_s v_1$
$\partial_t(v_2-p_1)=\partial_s v_2$
Отсюда аналогично получаем, что существуют такие функции $f, g$, что
$\begin{matrix}v_1+p_2=\partial_s f&v_1=\partial_t f\\v_2-p_1=\partial_s g&v_2=\partial_t g\end{martix}$
Это позволяет уменьшить ещё на 2 количество неизвестных.

Теперь все неизвестные выражаются через функции $f, g$:
$\begin{matrix}v_1=f_t\\v_2=g_t\\k_1=g_{ts}-g_{ss}\\k_2=f_{ss}-f_{ts}\\w_1=g_{tt}-g_{st}\\w_2=f_{st}-f_{tt}\end{martix}$
(индексы $t$, $s$ — дифференцирование по этим переменным)
Проверка: при подстановке этого в уравнения 1,2,4,5 они удовлетворяются тождественно.