2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Преобразование метрик Пэнлэве к виду Крускала-Шекереса
Сообщение04.02.2014, 19:22 
Аватара пользователя


14/11/12
1312
Россия, Нижний Новгород
Хочу повторить программу преобразования а-ля Крускала-Шекереса с метрикой Шварцшильда, но только теперь с метрикой белой и чёрной дыры Пэнлэве.

Для чёрной дыры Пэнлэве:
$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr^2 + \sqrt{\frac{r_g}{r}} c \, dt \right)^2 
- r^2 \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right) \eqno(1)$$
подстановка
$$\xi = \exp \left( \frac{-c t + r + 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right)
\left( 1 - \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right) \eqno(2)$$
$$\chi = \exp \left( \frac{+c t + r - 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right)
\left( 1 + \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right) \eqno(3)$$
даёт а-ля Крускала-Шекереса в изотропных координатах
$$ds^2 = \frac{4 r_g^3 e^{-\frac{r}{r_g}}}{r} d\xi d\chi
- r(\xi, \chi)^2 \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right)$$


Для белой дыры Пэнлэве:
$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr^2 - \sqrt{\frac{r_g}{r}} c \, dt \right)^2 
- r^2 \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right) \eqno(4)$$
подстановка
$$\tilde \xi = \exp \left( \frac{+c t + r + 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right)
\left( 1 - \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right) \eqno(5)$$
$$\tilde \chi = \exp \left( \frac{-c t + r - 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right)
\left( 1 + \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right) \eqno(6)$$
даёт а-ля Крускала-Шекереса в изотропных координатах
$$ds^2 = \frac{4 r_g^3 e^{-\frac{r}{r_g}}}{r} d \tilde \xi d \tilde \chi
- r(\tilde \xi, \tilde \chi)^2 \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right) \eqno(7)$$

Координаты $\xi$, $\chi$ отличаются от $\tilde \xi$, $\tilde \chi$ заменой $t \to - t$.

По формулам (3) и (6) координата $\chi$$\tilde \chi$) положительно определена, то есть пространство Пэнлеве покрывает одновременно лишь две из четырёх областей пространства Крускала-Шекереса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование метрик Пэнлэве к виду Крускала-Шекереса
Сообщение04.02.2014, 20:17 
Аватара пользователя


10/12/11
2242
Москва
В 1 и 4 формуле лишний квадрат в dr

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование метрик Пэнлэве к виду Крускала-Шекереса
Сообщение05.02.2014, 07:37 
Аватара пользователя


10/12/11
2242
Москва
Для начала все таки хотелось бы понять , как получены метрики (1) и (4) , при решении изначальной системы уравнений . У теоретиков сложилась практика: как-то (иногда эвристическим способом) найти хоть какое-то решение $R_{\mu}^{\nu}=0$ задачи, сформулированной в общем виде, а затем типа допустимыми преобразованиями координат получить все что угодно. А уже после этого ломать голову над физическим смыслом "нового" решения. Возникает вопрос, а почему решений Пенлеве (буду писать его фамилию по старинке) два , а не больше? Такой путь требует аккуратности и вообще говоря верен только локально в точке, а не во всем пространстве. Если где-то $g_{\mu\nu}$ не аналитична, то такие рассуждения неверны.
Скорее всего , если плясать от печки, необходимо добавить к основным уравнениям еще уравнения связи такого типа : $g_{00}=1$ и $g_{\theta\theta}=-r^2, g_{\varphi\varphi}=-r^2\sin^2{\theta}$ и отказаться от условия синхронности. После уже посмотреть - почему 2 решения и какие есть еще. Как нетрудно видеть, данная система совсем не такая , как ее составил бы Ландау, решая аналогичную задачу при других уравнениях связи ( например в стандартных координатах). Хотелось бы понять , как связаны при этом произвольные функции такого решения с произвольным функциями (и постоянными), возникшими при нахождении метрики в стандартных координатах и почему они не дают повода трактовать их как решения , отвечающие за другую физическую реальность? Может какие-нибудь и "серые" и "зеленые" дыры появятся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование метрик Пэнлэве к виду Крускала-Шекереса
Сообщение05.02.2014, 10:52 
Аватара пользователя


14/11/12
1312
Россия, Нижний Новгород
schekn в сообщении #822815 писал(а):
В 1 и 4 формуле лишний квадрат в dr
Да.

Ещё у $\tilde \xi$, $\tilde \chi$ надо заменить знак $\tilde \xi \to - \tilde \xi$, $\tilde \chi \to - \tilde \chi$ чтобы $\tilde \chi$ стала отрицательно определена, так как рост времени на рисунках принято изображать снизу вверх, соответственно белую дыру принято рисовать снизу.

schekn в сообщении #822947 писал(а):
Для начала все таки хотелось бы понять , как получены метрики (1) и (4) , при решении изначальной системы уравнений.
Это просто. В нерелятивистской механике переход в неинерциальную систему координат задаётся полем скоростей $V^i$:
$$
L = \frac{1}{2} m \gamma_{i j} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt}
\quad
\to
\quad
L = \frac{1}{2} m \gamma_{i j} \left( \frac{dx^i}{dt} - V^{i} \right) \left( \frac{dx^j}{dt} - V^{j} \right)$$
Релятивизация этого даёт следующее:
$$
L = - m c^2 \sqrt{ 1 - \frac{1}{c^2} \gamma_{i j} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt} }
\quad
\to
\quad
L = - m c^2 \sqrt{ 1 - \frac{1}{c^2} \gamma_{i j} \left( \frac{dx^i}{dt} - V^{i} \right) \left( \frac{dx^j}{dt} - V^{j} \right) }$$
Но последний Лагранжиан как раз и описывает движение в гравитационном поле вида
$$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right)$$
Следовательно, логично было бы искать решение для гравитационного поля создаваемого, скажем, Землёй в виде:
$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - V dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$
где $V(r)$ - неизвестная функция. Подставляем этот анзац в уравнения $R_{\mu \nu} = 0$ и получаем $V(r) = \pm c \sqrt{\frac{r_g}{r}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование метрик Пэнлэве к виду Крускала-Шекереса
Сообщение05.02.2014, 11:03 
Аватара пользователя


10/12/11
2242
Москва
SergeyGubanov в сообщении #822998 писал(а):
Подставляем этот анзац в уравнения $R_{\mu \nu} = 0$ и получаем $V(r) = \pm c \sqrt{\frac{r_g}{r}}$.

Не проверял, но поверю. А как возникла постоянная $r_g$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование метрик Пэнлэве к виду Крускала-Шекереса
Сообщение05.02.2014, 11:14 
Аватара пользователя


14/11/12
1312
Россия, Нижний Новгород
schekn в сообщении #823002 писал(а):
А как возникла постоянная $r_g$?
Как константа интегрирования. Её выражение через массу тяготеющего тела $r_g = 2 k M / c^2$ получается из сравнения, при предельном переходе обратно к нерелятивистскому Лагранжиану, с теорией тяготения Ньютона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование метрик Пэнлэве к виду Крускала-Шекереса
Сообщение06.02.2014, 12:48 
Аватара пользователя


14/11/12
1312
Россия, Нижний Новгород
Нарисовал картинки. Увидел, что белая дыра Пэнлеве и чёрная дыра Пэнлеве отделены друг от друга бесконечностью по времени Пэнлеве.

Чёрная дыра Пэнлеве

Исходная метрика:
$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left(dr + \sqrt{\frac{r_g}{r}} \, c \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$
В изотропных координатах:
$$\chi = \exp \left( \frac{+ c t + r - 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right) \left( 1 + \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right)$$
$$\xi = \exp \left( \frac{- c t + r + 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right) \left( 1 - \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right)$$
$$ds^2 = \frac{4 r_g^3}{r} \exp\left(-\frac{r}{r_g}\right) d\xi d\chi - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$
В координатах традиционной ориентации:
$$\tau = \frac{1}{2} \left( \chi + \xi \right)$$
$$\sigma = \frac{1}{2} \left( \chi - \xi \right)$$
$$ds^2 = \frac{4 r_g^3}{r} \exp\left(-\frac{r}{r_g}\right) \left( d\tau^2 - d\sigma^2 \right) - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$
Картинка:
Изображение
Сплошные линии: поверхности $r = \operatorname{const}$
Пунктирные линии: поверхности $t = \operatorname{const}$
Красная пунктирная левая диагональ: бесконечно далёкое прошлое $t = - \infty$
Сплошная правая диагональ: $r = r_g$


Белая дыра Пэнлеве

Исходная метрика:
$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left(dr - \sqrt{\frac{r_g}{r}} \, c \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$
В изотропных координатах:
$$\chi = - \exp \left( \frac{- c t + r - 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right) \left( 1 + \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right)$$
$$\xi = - \exp \left( \frac{+ c t + r + 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right) \left( 1 - \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right)$$
$$ds^2 = \frac{4 r_g^3}{r} \exp\left(-\frac{r}{r_g}\right) d\xi d\chi - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$
В координатах традиционной ориентации:
$$\tau = \frac{1}{2} \left( \chi + \xi \right)$$
$$\sigma = \frac{1}{2} \left( \chi - \xi \right)$$
$$ds^2 = \frac{4 r_g^3}{r} \exp\left(-\frac{r}{r_g}\right) \left( d\tau^2 - d\sigma^2 \right) - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$
Картинка:
Изображение
Сплошные линии: поверхности $r = \operatorname{const}$
Пунктирные линии: поверхности $t = \operatorname{const}$
Красная пунктирная левая диагональ: бесконечно далёкое будущее $t = + \infty$
Сплошная правая диагональ: $r = r_g$


Белая и чёрная дыра Пэнлеве вместе
Изображение
Сплошные линии: поверхности $r = \operatorname{const}$
Пунктирные линии: поверхности $t = \operatorname{const}$
Красная пунктирная левая диагональ: бесконечно далёкое будущее $t = + \infty$ для вселенной белой дыры Пэнлеве
и, одновременно, бесконечно далёкое прошлое $t = - \infty$ для вселенной чёрной дыры Пэнлеве.
Сплошная правая диагональ: $r = r_g$


Белая дыра Пэнлеве и чёрная дыра Пэнлеве отделены друг от друга бесконечностью по времени Пэнлеве.

(Программа на Mathematica)

L = 7;
W = 3;
dT = 0.4;
NT = 15;
dR = 0.1;
NR = 9;
range = {{-W, W}, {-W, W}};

(* Чёрная дыра Пэнлеве *)
Clear[c, rg, r, t, dt, dr, \[Xi], \[Chi], \[Tau], \[Sigma]];
\[Xi][t_, r_] :=
Exp[(-c t + r + 2 Sqrt[rg r])/(2 rg)] (1 - Sqrt[r/rg]);
\[Chi][t_, r_] :=
Exp[(+c t + r - 2 Sqrt[rg r])/(2 rg)] (1 + Sqrt[r/rg]);

d\[Xi] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Xi][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Xi][t, r]\)\) dr;
d\[Chi] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Chi][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Chi][t, r]\)\) dr;

Simplify[(4 rg^3)/r E^(-(r/rg))
d\[Xi] d\[Chi] == (c^2 dt^2 - (dr + Sqrt[rg/r] c dt)^2), {r > 0,
rg > 0}]
\[Tau][t_, r_] := 1/2 (\[Xi][t, r] + \[Chi][t, r]);
\[Sigma][t_, r_] := 1/2 (\[Chi][t, r] - \[Xi][t, r]);

d\[Tau] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Tau][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Tau][t, r]\)\) dr;
d\[Sigma] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Sigma][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Sigma][t, r]\)\) dr;
Simplify[(4 rg^3)/
r E^(-(r/
rg)) (d\[Tau]^2 -
d\[Sigma]^2) == (c^2 dt^2 - (dr + Sqrt[rg/r] c dt)^2), {r > 0,
rg > 0}]

c = 1;
rg = 1;

radial[r_] :=
ParametricPlot[{\[Sigma][t, r], \[Tau][t, r]}, {t, -L, L},
PlotRange -> range, PlotStyle -> {RGBColor[0.15, 0.5, 0.15]}];
time[t_] :=
ParametricPlot[{\[Sigma][t, r], \[Tau][t, r]}, {r, -L, L},
PlotRange -> range, PlotStyle -> {RGBColor[0.3, 0.9, 0.3], Dashed}];

blackRadial = Table[radial[1 + n*dR], {n, -NR, NR}];
blackTime = Table[time[n*dT], {n, -NT, NT}];
black = Join[blackRadial, blackTime];

(* Белая дыра Пэнлеве *)
Clear[c, rg, r, t, dt, dr, \[Xi], \[Chi], \[Tau], \[Sigma]];
\[Xi][t_,
r_] := -Exp[(+c t + r + 2 Sqrt[rg r])/(2 rg)] (1 - Sqrt[r/rg]);
\[Chi][t_,
r_] := -Exp[(-c t + r - 2 Sqrt[rg r])/(2 rg)] (1 + Sqrt[r/rg]);
d\[Xi] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Xi][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Xi][t, r]\)\) dr;
d\[Chi] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Chi][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Chi][t, r]\)\) dr;

Simplify[(4 rg^3)/r E^(-(r/rg))
d\[Xi] d\[Chi] == (c^2 dt^2 - (dr - Sqrt[rg/r] c dt)^2), {r > 0,
rg > 0}]
\[Tau][t_, r_] := 1/2 (\[Xi][t, r] + \[Chi][t, r]);
\[Sigma][t_, r_] := 1/2 (\[Chi][t, r] - \[Xi][t, r]);

d\[Tau] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Tau][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Tau][t, r]\)\) dr;
d\[Sigma] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Sigma][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Sigma][t, r]\)\) dr;
Simplify[(4 rg^3)/
r E^(-(r/
rg)) (d\[Tau]^2 -
d\[Sigma]^2) == (c^2 dt^2 - (dr - Sqrt[rg/r] c dt)^2), {r > 0,
rg > 0}]

c = 1;
rg = 1;

radial[r_] :=
ParametricPlot[{\[Sigma][t, r], \[Tau][t, r]}, {t, -L, L},
PlotRange -> range, PlotStyle -> {RGBColor[0.15, 0.15, 0.6]}];
time[t_] :=
ParametricPlot[{\[Sigma][t, r], \[Tau][t, r]}, {r, -L, L},
PlotRange -> range, PlotStyle -> {RGBColor[0.3, 0.3, 0.9], Dashed}];
whiteRadial = Table[radial[1 + n*dR], {n, -NR, NR}];
whiteTime = Table[time[n*dT], {n, -NT, NT}];
white = Join[whiteRadial, whiteTime];
redLine =
ParametricPlot[{s, -s}, {s, -W, W}, PlotRange -> range,
PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], Dashed, Thick},
AxesLabel -> {"\[Sigma]", "\[Tau]"}];
Show[redLine, black]
Show[redLine, white]
Show[redLine, white, black]

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование метрик Пэнлэве к виду Крускала-Шекереса
Сообщение06.02.2014, 14:57 
Аватара пользователя


14/11/12
1312
Россия, Нижний Новгород
Формулы с картинками из предыдущего сообщения оформил и выложил в формате PDF: "Полное пространство белой и чёрной дыры Пэнлеве".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group