Оценить функцию

[confabulez]

Добрый день. Мне необходимо оценить функцию $y=\sin^{3}(x)+\cos^{3}(x)$, точнее найти максимум.
Я делал так: $\sin^{3}(x)+\cos^{3}(x)=(\sin(x)+\cos(x))(1-\sin(x)\cos(x))$, далее $t=\sin(x)+\cos(x), t\leqslant\sqrt{2}$.
Получил $y=1,5t-0,5t^3$. Далее нашел производную, приравнял нулю и т.д. Нашел минимум и максимум на отрезке $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Максимум $y(1)=1$.

Вопрос: можно ли быстрее оценить данную функцию сверху? Не находя производной.

[Aritaborian]

Так оценить сверху или найти максимум? Ясно, что верхняя оценка суммы — $2$, ибо каждое из слагаемых ограничено единицей.

[ИСН]

Быстрее можно, но это получится медленнее. Смотрите:
$\sin x\le1$
$\sin^3x\le\sin^2x$
та же фигня с косинусом. Потом:
$\sin^3x+\cos^3x\le\sin^2x+\cos^2x=...$

[Александрович]

Aritaborian в сообщении #822675 писал(а):

Так оценить сверху или найти максимум? Ясно, что верхняя оценка суммы — $2$, ибо каждое из слагаемых ограничено единицей.

Одновременно синус и косинус не могут равняться единице.

[confabulez]

Спасибо, ИСН,
а почему вы написали, что "это получится медленнее"? Строчек-то меньше.

[ИСН]

Ну то Вы сами сделали, а это почему-то на форуме спрашивать пришлось

[Aritaborian]

Александрович в сообщении #822681 писал(а):

Одновременно синус и косинус не могут равняться единице.

Так верхняя оценка же. Да, её можно улучшить ;-)

[B@R5uk]

Александрович в сообщении #822681 писал(а):

Одновременно синус и косинус не могут равняться единице.

Оценить сверху -- это найти верхнюю грань (любую, а их бесконечно много). Найти максимум -- это найти точную верхнюю грань (то есть наименьшую из всех верхних граней). Большая разница!

[ewert]

confabulez в сообщении #822673 писал(а):

Далее нашел производную, приравнял нулю

Зачем "далее"-то?... Надо было если производную уж брать, то с самого начала, непосредственно для исходной функции.

[roma1990]

Очевидно, что если одна из функций ($\sin(x), \cos(x)$) достигает своего максимума равного 1 в некоторой точке $x^*$, то другая в этой точке в ноль обращается. Т.е. пусть к примеру $\sin(x^*)=1$. Тогда $\cos(x^*)=0$. Следовательно, $y(x^*)=1$ -очевидный максимум функции (т.к. при других x будет или достигаться этот же максимум или же y<1)

[Aritaborian]

roma1990, ваши рассуждения неверны. Попробуйте применить их к функции $f(x)=\sin x+\cos x$.

[roma1990]

Aritaborian в сообщении #822761 писал(а):

roma1990, ваши рассуждения неверны. Попробуйте применить их к функции $f(x)=\sin x+\cos x$.

Согласен, в этой функции есть точка $\pi/4$, в которой её максимум будет больше 1.