Функция Грина

[Taus]

Можно ли зная функцию Грина 1D-уравнения диффузии во всём пространстве, построить функцию Грина с граничными условиями, не прибегая к преобразованию Фурье?

[Vince Diesel]

В какой области? С какими условиями?

[Taus]

Есть решение для

$$\dfrac{\partial G}{\partial t} = L G;\ G(x,t_0) = \delta(x-x_0)\quad -\infty<x<\infty; t \geqslant t_0$$

Зная $G(x,x_0,t,t_0)$, можно ли построить решение следующей задачи?

$$\begin{cases}\dfrac{\partial F}{\partial t} =LF \quad 0 \leqslant x < +\infty; t \geqslant t_0\\ F(x,t_0) = \delta(x-x_0)\\ \left(a \dfrac{\partial F}{\partial x} + b F \right)\Bigg|_{x=0} = 0;\ a,b \in \mathbb{R}\end{cases}$$

$L$ - самосопряженный дифференциальный оператор.

[Taus]

Сделал замену $a \dfrac{\partial F}{\partial x} + b F = W(x,t)$. В моем случае $L$ и $\dfrac{d}{dx}$ коммутируют. Следовательно для $W(x,t)$ уравнение остается прежним. Переписал начальные условия для $W(x,t)$. Далее продолжил задачу нечётным образом на всю ось и получил решение $W(x,t)$.
Теперь решаем уравнение $a \dfrac{\partial F}{\partial x} + b F = W(x,t)$, находя $F(x,t)$. Вопрос, из какого условия можно найти $C(t)$ перед решением однородного уравнения?