2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 идентификация правой части диффура (численный метод)
Сообщение10.06.2007, 18:25 
Здравствуйте,
не могли бы вы высказать мнение по поводу такого вопроса:
есть 3 дифференциальных уравнение второго порядка

\[
\frac{{\partial ^2 x}}
{{\partial t^2 }} = a_x (t)
\]
\[
\frac{{\partial ^2 y}}
{{\partial t^2 }} = a_y (t)
\]
\[
\frac{{\partial ^2 z}}
{{\partial t^2 }} = a_z (t)
\]

Задача состоит в идентификации правой части уравнений по измерениям x, y, z(измерения с некоторой погрешностью), причем информация об измерениях поступает отдельными порциями в заданные моменты времени и должна оперативно использоваться для определения требуемых характеристик процесса.
На мой взгляд задачу можно решать с помощью метода динамической регуляризации(разработанного Осиповым Ю.С.). В интернете видела ссылку на книгу "Основы метода динамической регуляризации" за его авторством, но найти нигде её не могу.
Хотелось бы увидеть ваши мнения!
Спасибо.

 
 
 
 
Сообщение14.06.2007, 20:44 
Аватара пользователя
Если бы у Вас была задача Коши, а отискиваемая система уравнеий была линейной по смещениям и скоростям, то тогда можно было бы использовать что-то вроде метод Калмана. Суть его насколько я помню состоит в отискании 9 коэффициентов матрицы смещений и 9 коэффициентам матрицы демпфирования. Уже по первым нескольким точкам смещений по времени вы можите однозначно определить точное с математической точки зрения начальное приближение этих коэффициентов, решая систему нелинейных уравнений. В последующем Вам необходимо ввести невязку решения и ее норму на основе метода наименьших квадратов, чтобы весь рассматриваемый Вами интервал решения по времени значительно не отконялся от решения системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициенами. Насколько я знаю в 80-х годах, значимым успехом в решениии подобного рода задач была идентификация уравнений короткоприодического движения транспортного самолета с определением момента инерции самолета.

 
 
 
 
Сообщение23.06.2007, 22:29 
Zai, спасибо за ответ!
Про метод Калмана для определения правой части не слышала никогда, знакома только с калмановской фильтрацией, которую для коррекции измерений применяют.
Задача пока решена мной вот таким образом:
во-первых, взята система уравнений не второго порядка, а первого(то есть со скоростями, и скорости и координаты измеряются). В правые части уравнений было введено некоторое слагаемое, которое характеризует изменение ускорения(справа в уравнениях, по факту, ускорение). Это слагаемое требуется найти.
\[
\left\{ \begin{gathered}
  \frac{{dv_x }}
{{dt}} = a_x (1 + \alpha _x ) \hfill \\
  \frac{{dv_x }}
{{dt}} = a_y (1 + \alpha _y ) \hfill \\
  \frac{{dv_z }}
{{dt}} = a_z (1 + \alpha _z ) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\]
Здесь\[
\alpha _x ,\,\alpha _y ,\,\alpha _z 
\] - искомые величины.
Нахожу я их следующим образом(на примере первого уравнения системы):
вводится вспомогательная функция \[
z_h (t)
\], \[
z_h (0)\, = \,\tilde v_x (0)
\], где \[
\tilde v_x (0)
\] - наблюдаемое значение \[
v_x 
\] в начальный момент времени.
Искомая величина ищется в виде кусочно-постоянной функции.
Для каждого промежутка времени выполняется две операции:
1. минимизируется функционал для нахождения значения \[
\alpha _x 
\] на этом промежутке:
\[
t_0 (u)\, = \,2\left\langle {z_h (t_i ) - \tilde v_x (t_i ),a_x \alpha _x } \right\rangle  + \alpha \left\| {\alpha _x } \right\|^2 \,\, \to \inf 
\],
здесь \[
\alpha
\] - параметр метода.
2. находится \[
z_h
\]:
\[
z_h (t)\, = \,z_h (0)\, + \,[a_x \alpha _x  + a_x ](t - t_i )
\]
\[
z_h(t)
\] - кусочно-линейная функция.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group