Неравенство на ядро компактного оператора

[shryke]

Предположим, что $d\mu(v)$ - положительная мера на $\mathbb R^d$. Также предположим, что два ядра $k_1(v,v_1)$ и $k_2(v,v_1) $ положительны на $\mathbb R^d\times \mathbb R^d$.

Определим интегральные операторы

$$K_i[f](v)=\int_{\mathbb R^d}k_i(v,v_1)f(v_1)d\mu(v_1).$$

Известно, что оператор $K_2:L_2(d\mu(v))\to L_2(d\mu(v))$ компактен, но не удовлетворяет критерию Гильберта-Шмидта (т.е. он не из $L_2(d\mu(v)d\mu(v_1))$). Известно также, что есть положительные константы $C_\pm,$ для которых выполняется

$$C_-k_2(v,v_1)\le k_1(v,v_1)\le C_+k_2(v,v_1)\quad \forall (v,v_1)\in \mathbb R^d\times \mathbb R^d.$$

Я хочу доказать, что оператор $K_1$ тоже будет компактен. Нетрудно доказать, что он непрерывен - достаточно рассмотреть положительную и отрицательную составляющие $f$. Однако компактность просто так не поддаётся.

Можно дополнительно предположить, что мера Лебегова или что она конечная. Можно предположить, например, что операторы симметричны.

Буду благодарен за любую помощь с доказательством этого утверждения или, наоборот, за помощь с доказательством того, что $K_1$ может быть не компактным.

[Oleg Zubelevich]

а надо обязательно доказывать, что он может быть некомпактным?

[shryke]

Oleg Zubelevich в сообщении #820763 писал(а):

а надо обязательно доказывать, что он может быть некомпактным?

Можно и не доказывать=) Можно подсказать какую-нибудь идею или просто высказать мнение по поводу поставленной задачи=)

[shwedka]

Результат верен. Доказательство можно найти в книге Красносельского и Ко.
'Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций'
гл. 2, п.5.6
При этом положительность второго ядра и оценка снизу не нужны.
Достаточно
$|k_2(x,y)|\le k_1(x,y)$

см. также L. D. Pitt, A compactness condition for linear operators of function spaces. J. Operator Theory 1 1979, 49-54,
P. G. Dodds and D. H. Fremlin, Compact operators in Banach lattices, Israel J. Math. 34
1979), 287-320 1980).

[shryke]

Спасибо большое!

shwedka в сообщении #822133 писал(а):

Результат верен. Доказательство можно найти в книге Красносельского и Ко.
'Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций'
гл. 2, п.5.6
При этом положительность второго ядра и оценка снизу не нужны.
Достаточно
$|k_2(x,y)|\le k_1(x,y)$

см. также L. D. Pitt, A compactness condition for linear operators of function spaces. J. Operator Theory 1 1979, 49-54,
P. G. Dodds and D. H. Fremlin, Compact operators in Banach lattices, Israel J. Math. 34
1979), 287-320 1980).

Спасибо за ссылки, буду изучать доказательства. В Красносельском уж больно обозначения для меня незнакомые.

[shwedka]

Дополнительно.
Интересное обсуждение этого результата, включая его историю,
есть в конце 5 главы книги
Aliprantis C.D., Burkinshaw O. Positive operators (Springer, 2006)(ISBN 1402050070)

[Red_Herring]

На самом деле поскольку речь идет о $L^2$ доказательство элементарно: заметим что $\|K_2 u\| \le C \|K_1u\|$. В силу компактности $K_1$

$$u_n \overset{w}{\longrightarrow}0\implies K_1u_n \overset{s}{\longrightarrow}0$$

и потому это верно и для $K_2$.

[shryke]

Red_Herring в сообщении #822189 писал(а):

На самом деле поскольку речь идет о $L^2$ доказательство элементарно: заметим что $\|K_2 u\| \le C \|K_1u\|$.

Если Вы о доказательстве моей задачки, то я пробовал так доказывать. У меня получилось только

$$\|K_1 u\|\le C \|K_2|u|\|,$$

Без модуля у меня не получается. Если что-то проглядел - буду рад подсказке. Пока в голове крутится контрпример (не знаю, насколько он корректен): $u\in \ker K_2\setminus \ker K_1$.

Если Вы о доказательстве в Красносельском, то я пока в нём ещё не разбирался.

-- 03.02.2014, 01:00 --

shwedka в сообщении #822182 писал(а):

Дополнительно.
Интересное обсуждение этого результата, включая его историю,
есть в конце 5 главы книги
Aliprantis C.D., Burkinshaw O. Positive operators (Springer, 2006)(ISBN 1402050070)

Спасибо, поизучаю на досуге.

[Red_Herring]

Да, Вы правы. После того, как 2 часа чистил снег с драйвея голова не варит.